Арифметические вычисления. ЕГЭ. Натуральное число. Взаимно простые чисела. Произведение чисел. Рациональное число. Абсолютная величина действительного числа. Арифметический корень. Положительный квадратный корень из положительного числа. Арифметический квадратный корень. Равенство. Уравнения. Неравенства

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: ut2018@protonmail.com    
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии







Арифметические вычисления. ЕГЭ

При решении уравнений, как и многих других задач, мы сталкиваемся с необходимостью использовать свойства чисел. Связанные с действительными (вещественными) числами важные понятия — абсолютной величины (кодуля) и арифметического квадратного корня — очень важны. Большие трудности доставляет поступающим построение графиков функций. Учитывая, что графики в школьном курсе изучаются недостаточно, но часто предлагаются на вступительных экзаменах, необходимо знать некоторые методы построения графиков функций. Традиционными на вступительных экзаменах являются так называемые «текстовые» задачи. Они позволяют выяснить, умеет ли поступающий логически рассуждать, может ли он переложить «описательное» условие на язык математических формул, не забыв никаких деталей, позволяют проверить, в какой степени он владеет техникой решения систем уравнений. Относящиеся сюда вопросы и задачи очень важны.

Уравнения и неравенства — это, пожалуй, самый обязательный, неотъемлемый элемент экзаменов по математике.

При их решении обычно требуется комплексное использование разных разделов курса, проверяется умение грамотно проводить алгебраические и тригонометрические преобразования. Важные аспекты решения уравнений и неравенств очень важны. Окончившего среднюю школу нет надобности убеждать, что все понятия, которыми он пользуется в математике, должны быть строго определены (кроме, разумеется, самых исходных — таких, как натуральное число, равенство, точка, прямая, плоскость). Эти определения в школьном курсе, конечно, даются, но чем дальше учащийся отдаляется от них и углубляется в теорию и решение задач, чем больше он привыкает к используемым понятиям, тем больше он склонен, сам иногда даже того не сознавая, считать, что эти понятия «ясны сами по себе» и не нуждаются в определении. Между тем от поступающего требуется четкое логическое понимание курса элементарной математики и, в частности, знание и понимание определений. Поэтому при изучении предусмотренных программой разделов полезно обратить особое внимание на определения, добиться ясного осмысления их формулировок. Помимо определения понятий, в математике вводятся соглашения об обозначении того или иного объекта или отношения между, объектами специальным символом. Эти соглашения, являющиеся по существу определением символа, необходимо хорошо помнить. Так, сумму двух чисел записывают с помощью знака +; тот факт, что число а меньше числа b, т. е. что число а—b отрицательное, договариваются записывать с помощью знака < в виде а < b. Если имеются натуральные числа, то их общим делителем называется натуральное число, на которое каждое из этих чисел делится без остатка. Наибольший из общих делителей чисел называется их наибольшим общим делителем. Если наибольший общий делитель равен 1, то числа называются взаимно простыми.

Если натуральное число N делится на каждое из двух взаимно простых чисел a и b, то N делится и на произведение этих чисел.

Далее, если произведение МN натуральных чисел N и М делится без остатка на натуральное число D и если числа М и D взаимно просты, то N делится на D. Наконец, напомним следующее свойство:

одно из n последовательных целых чисел обязательно делится на n.

Как известно,

рациональными называются числа, которые могут быть представлены в виде p/q, где р — целое число, a q — натуральное число.

Если число p/q положительное, то р > 0, если же число p/q отрицательное, то р < 0. Дробь p/q всегда можно считать несократимой, т. е. считать числа |р| и q взаимно простыми. Числу 0 соответствует представление p/q при р = 0 (и любом q). Задача:

Каким числом — рациональным или иррациональным—является 0,101001000100001000001...?

Закон построения указанной десятичной дроби достаточно ясен: после каждой единицы идет группа нулей,. содержащая на один нуль больше, чем предыдущая группа. Не очень трудно сообразить, что такое построение приводит к непериодической дроби, и мы докажем это от противного. Предположим, что дробь периодическая и пусть ее период состоит из п цифр. Возьмем в этой дроби разряды, в которых подряд стоят 2n + 1 нулей, и рассмотрим нуль, стоящий посредине этой группы. Этот нуль находится либо в начале, либо внутри, либо в конце некоторого периода; но во всех перечисленных случаях этот период целиком лежит на взятом «отрезке» из 2n+1 нулей. Таким образом, период состоит из одних нулей, а этого не может быть. Прежде всего заметим, что приближенные вычисления без оценки их точности не считаются в математике доказательством. Но даже если привести оценку точности вычислений (что сделать нетрудно), это доказательство не является правильным, так как оно показывает, что данные числа не являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии. Однако не доказано, что они не могут быть тремя не соседними членами одной арифметической прогрессии. Задача:

В любой момент времени число людей на земле, сделавших нечетное число рукопожатий, четно.

Для доказательства дадим каждому рукопожатию номер в хронологическом порядке. Ясно, что тогда наше утверждение равносильно следующему: каково бы ни было число п, после рукопожатия с номером n число людей, сделавших нечетное число рукопожатий, четно. Это утверждение зйвисит от я, и мы докажем его по индукции. Для краткости будем называть людей, сделавших нечетное число рукопожатий, «плохими», а остальных «хорошими». После рукопожатия с номером 1 стало два «плохих» человека, т. е. четное число. Пусть после рукопожатия с номером k число «плохих» людей четно, и пусть происходит рукопожатие номер k+1. При этом может быть три случая: пожимают руки а) двое «хороших», б) двое «плохих», в) «хороший» и «плохой». В первом случае двое «хороших» прибавляют к своему четному числу рукопожатий еще одно, т. е. становятся «плохими»; вс втором — двое «плохих» становятся «хорошими» и в третьем — «хороший» становится «плохим», а «плохой» — «хорошим». Таким образом, число «плохих» людей либо увеличивается на два, либо уменьшается на два, либо не меняется, т. е. в любом случае остается четным. Утверждение доказано. Здесь мы остановимся всего на двух вопросах:

абсолютная величина действительного числа и арифметический корень.

В большинстве случаев поступающие правильно отвечают, чему равна абсолютная величина данного конкретного действительного числа. Но когда дело доходит до определения абсолютной величины, довольно часто встречаются бессмысленные ответы типа: абсолютная величина числа есть «число без знакам или «число со знаком плюс», «положительное значение числа». Легко видеть, что

геометрически |а| означает расстояние, т. е. длину отрезка числовой оси (положительное число или 0) от. точки а до нуля.

Кроме того, можно доказать разбором отдельных случаев, что |b — а| есть расстояние между точками а и b. Эти геометрические представления очень полезны при решении задач, а в простейших случаях позволяют дать ответ сразу, не прибегая к стандартному методу, который мы рассматриваем ниже. В самом деле, рассмотрение отдельных случаев, скажем, при решении уравнения, означает, что в каждом из них мы ищем решение только в какой-то узкой области, а именно в области, определенной условиями конкретного рассматриваемого случая. Это заставляет нас каждый раз после нахождения решений в конкретном случае отобрать из них лишь те, которые входят в нужную область, т. е. удовлетворяют условиям, определяющим этот конкретный случай. В то же время очень часто приходится видеть, как поступающие правильно выделяют отдельные случаи, решают уравнение в каждом случае, а условия случаеи повисают в воздухе и выглядят как формальная отписка. Само собой разумеется, что перебор отдельных случаев не является единственным способом решения примеров с модулями.

Очень часто особенности конкретной задачи позволяют находить иные, более короткие и изящные пути решения.

Поэтому, увидев в условии задачи знак абсолютной величины, не следует «с ходу» рассматривать отдельные случаи; эта возможность решения есть всегда, но полезно сначала обдумать поставленную задачу, попытаться подобрать иные пути.

1) Если а положительно, то существует ровно два корня квадратных из а; при этом один из них положителен, а друеоп отрицателен.

2) Если а = О, то существует единственный корень квадратный из а и он равен нулю.

3) Если а отрицательно, то не существует вообще ни одного квадратного корня из а.

В курсе средней, школы без доказательства принимается существование положительного корня из положительного числа. Остальные утверждения, содержащиеся в 1)-3), могут быть легко доказаны.

Рассмотрим теперь положительное число а. Из этого числа можно извлечь два квадратных корня. Для того чтобы отличать их друг от друга, вводится понятие арифметического корня.

Определение . Положительный квадратный корень из положительного числа называется арифметическим квадратным корнем из этого числа.

Список рекомендуемой литературы:

1. ЕГЭ 2019. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов + 800 дополнительных заданий части 2. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН

2. ЕГЭ 2019. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов заданий. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН

3. Г.В.Дорофеев, М.К.Потапов, Н.Х.Розов ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗЫ (избранные вопросы элементарной математики). - М:Наука, 1975