Преобразование рациональных выражений. ЕГЭ. Теоремы алгебры. Доказательство. Алгебраическое утверждение. Формула для решения квадратного уравнения. Логарифмы чисел. Возрастающая функция. Положительные числа. Квадратный трехчлен. Решение квадратных неравенств. Действительные корни. Подготовка к экзаменам

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: ut2018@protonmail.com    
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии







Преобразование рациональных выражений. ЕГЭ


Курс алгебры включает в себя значительное число различных утверждений.


Довольно широко распространено мнение, что в геометрии надо рассуждать строго, там есть теоремы, которые требуют аккуратного доказательства, использующего определения, а в алгебре есть только одна теорема — теорема Виета, все же остальное — всякие слова и формулы. Это — глубокое заблуждение.


Ведь даже формула квадрата суммы — это теорема. А свойства логарифмической функции — это уже несколько теорем. Как и в геометрии,


каждая теорема алгебры должна сопровождаться доказательством, а перед проведением этого доказательства следует дать определения всем тем понятиям, которые вcтречаются в ее формулировке.


Опыт показывает, что


чем привычнее алгебраическое утверждение, чем чаще оно применяется при решении задач, тем чаще забывают, что его надо уметь не только правильно формулировать и использовать, но и доказывать.


Поэтому при подготовке к экзаменам нужно обратить особое внимание на обоснование тех или иных утверждений, особенно кажущихся «очевидными».


Все знают формулу для решения квадратного уравнения, однако просьба привести ее вывод ставит некоторых поступающих в тупик.


Такие же трудности связаны с теоремами о решении квадратных неравенств. Даже если поступающий правильно решает такие неравенства, он зачастую не может обоснованно ответить, например, на вопрос, почему квадратный трехчлен с положительным коэффициентом при х2 положителен вне интервала между корнями и положителен при любом х, если действительных корней нет.


Между тем строгие доказательства теорем о знаке квадратного трехчлена весьма несложны.


Несколько слов необходимо сказать и по поводу самих формулировок ряда определений и теорем.


В учебниках большинство формулировок дается в чисто словесной форме, без использования удобных буквенных обозначений. Иногда это вполне оправдано, но часто слишком утяжеляет формулировку.


Нужно уметь свободно переводить словесные утверждения в формульные и обратно.


Ведь именно это обычно требуется для доказательства теорем. Например, для доказательства того, что «при основании, большем единицы, логарифмы чисел, больших единицы, положительны», мы прежде всего должны ввести обозначения: пусть основание а > 1, число х > 1, и пусть у = loga x, а затем установить, что число у>0.


Такая перефразировка бывает связана и с необходимостью использовать то или иное определение. Так, прежде чем доказывать утверждение «при а > 1 функция у = loga x возрастает», нужно вспомнить, что такое возрастающая функция, и тогда доказательство начинается со слов: «Пусть a > 1, а x1 и х2 — положительные числа, причем x1 < х2; докажем, ЧТО loga x1 < loga x2».


Поступающие не всегда ясно понимают, что некоторые формульные перефразировки одновременно используют и принятые для тех или иных понятий символы.




Список рекомендуемой литературы:


1. ЕГЭ 2019. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов + 800 дополнительных заданий части 2. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН

2. ЕГЭ 2019. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов заданий. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН

3. Г.В.Дорофеев, М.К.Потапов, Н.Х.Розов ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗЫ (избранные вопросы элементарной математики). - М:Наука, 1975