Преобразование рациональных выражений. ЕГЭ. Теоремы алгебры. Доказательство. Алгебраическое утверждение. Формула для решения квадратного уравнения. Логарифмы чисел. Возрастающая функция. Положительные числа. Квадратный трехчлен. Решение квадратных неравенств. Действительные корни. Подготовка к экзаменам
Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии
Преобразование рациональных выражений. ЕГЭ
Курс алгебры включает в себя значительное число
различных утверждений.
Довольно широко
распространено мнение, что в геометрии надо рассуждать строго,
там есть теоремы, которые требуют аккуратного
доказательства, использующего определения, а в алгебре
есть только одна теорема — теорема Виета, все же
остальное — всякие слова и формулы. Это — глубокое
заблуждение.
Ведь даже формула квадрата суммы —
это теорема. А свойства логарифмической функции —
это уже несколько теорем. Как и в геометрии,
каждая теорема алгебры должна сопровождаться доказательством, а перед проведением этого доказательства следует дать определения всем тем понятиям, которые вcтречаются в ее формулировке.
Опыт показывает, что
чем привычнее алгебраическое утверждение, чем чаще оно применяется при решении задач, тем чаще забывают, что его надо уметь не только правильно формулировать и использовать, но и доказывать.
Поэтому при подготовке к экзаменам нужно обратить особое внимание на обоснование тех или иных
утверждений, особенно кажущихся «очевидными».
Все знают формулу для решения квадратного уравнения, однако просьба привести ее вывод ставит некоторых поступающих в тупик.
Такие же трудности связаны с теоремами о решении квадратных неравенств. Даже
если поступающий правильно решает такие неравенства,
он зачастую не может обоснованно ответить, например,
на вопрос, почему квадратный трехчлен с
положительным коэффициентом при х2 положителен вне интервала
между корнями и положителен при любом х, если
действительных корней нет.
Между тем строгие доказательства теорем о знаке квадратного трехчлена весьма несложны.
Несколько слов необходимо сказать и по поводу самих формулировок ряда определений и теорем.
В учебниках большинство формулировок дается в чисто словесной форме, без использования удобных буквенных обозначений. Иногда это вполне оправдано, но часто слишком утяжеляет формулировку.
Нужно уметь свободно переводить словесные утверждения в формульные и обратно.
Ведь именно это
обычно требуется для доказательства теорем. Например,
для доказательства того, что «при основании, большем
единицы, логарифмы чисел, больших единицы,
положительны», мы прежде всего должны ввести обозначения:
пусть основание а > 1, число х > 1, и пусть у = loga x,
а затем установить, что число у>0.
Такая
перефразировка бывает связана и с необходимостью использовать
то или иное определение. Так, прежде чем доказывать
утверждение «при а > 1 функция у = loga x возрастает»,
нужно вспомнить, что такое возрастающая функция, и
тогда доказательство начинается со слов: «Пусть a > 1,
а x1 и х2 — положительные числа, причем x1 < х2;
докажем, ЧТО loga x1 < loga x2».
Поступающие не всегда ясно понимают, что некоторые формульные перефразировки одновременно используют и принятые для тех или иных понятий символы.
Список рекомендуемой литературы:
1. ЕГЭ 2019. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов + 800 дополнительных заданий части 2. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН
2. ЕГЭ 2019. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов заданий. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН
3. Г.В.Дорофеев, М.К.Потапов, Н.Х.Розов ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗЫ (избранные вопросы элементарной математики). - М:Наука, 1975
