Действия над радикалами. ЕГЭ. Общий множитель. ОДЗ уравнения. Правило перехода от равенства степеней к равенству показателей. Решение уравнений. Причина потери корней. Применение тригонометрических формул. Область допустимых значений. Решение подбором. Показатели степени. Универсальная подстановка

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: ut2018@protonmail.com    
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии







Действия над радикалами. ЕГЭ


Довольно распространенной и очень грубой ошибкой, приводящей к потере корней, является сокращение обеих частей уравнений на общий множитель.


Ясно, что при этом могут быть потеряны корни, которые обращают в нуль этот общий множитель.


В этих случаях лучше всего перенести все в левую часть, вынести общий множитель за скобки и рассмотреть два случая:


1) общий множитель равен нулю; 2) общий множитель не равен нулю — тогда обязательно равно нулю выражение в скобках.


Можно также рассмотреть сначала случай, когда общий множитель равен нулю, а затем на него сократить.


Иногда приходится слышать и такое ошибочное утверждение: «Если степень положительного числа равна 1, то показатель степени равен нулю». Это верно лишь при условии, что основание отлично от 1. А если основание равно 1, то при любом показателе степень будет равна 1.


Таким образом, при пользовании правилом перехода от равенства степеней одного и того же неотрицательного основания к равенству показателей нужно рассматривать три случая: основание степени равно 0, основание степени равно 1, показатели степеней равны.


Это рассмотрение позволяет избежать потери корней. Однако посторонние корни при таком решении могут появиться. В самом деле, в каждом из этих случаев приходится, вообще говоря, решать уравнение, и поскольку все эти три уравнения решаются уже совершенно изолированно друг от друга,


может оказаться, что некоторые их решения не будут входить в ОДЗ исходного уравнения.


Следовательно, после применения правила перехода от равенства степеней к равенству показателей и после решения соответствующих уравнений обязательно надо делать проверку.


При этом достаточно установить лишь, что проверяемый корень входит в ОДЗ исходного уравнения; тогда корень автоматически будет ему удовлетворять.


Часто причиной потери корней является применение тригонометрических формул.


Как известно, левая и правая части тригонометрической формулы могут иметь различную область допустимых значений.


Таковы, например, формулы так называемой «универсальной подстановки», выражающие синус и косинус через тангенс половинного угла. В этих формулах левая часть имеет более широкую область допустимых значений, и поэтому, заменяя в уравнении левую часть формулы правой, мы сужаем его ОДЗ, т. е. рискуем потерять корни.


Из этого примера видно, что


«решение подбором» — вполне законный прием, если после угадывания каких-то корней мы совершенно строго докажем, что других корней нет.


Если же ограничиться только угадыванием корней я не доказывать, что других корней нет, то такое «решение» очень часто может привести к потере корней.


если показатели степени при соответствующих основаниях равны, то и произведения этих степеней равны, однако обратное ниоткуда не следует и просто неверно.




Список рекомендуемой литературы:


1. ЕГЭ 2019. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов + 800 дополнительных заданий части 2. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


2. ЕГЭ 2019. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов заданий. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


3. Г.В.Дорофеев, М.К.Потапов, Н.Х.Розов ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗЫ (избранные вопросы элементарной математики). - М:Наука, 1975