Действия над абсолютными величинами. ЕГЭ. Абсолютная величина. Действительное число. Модуль. Освобождение от модуля. Приближенные вычисления. Числовые неравенства. Решение уравнения. Перебор отдельных случаев. Примеры с модулями. Абсолютная величина действительного числа. Арифметический корень

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: ut2018@protonmail.com    
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии







Действия над абсолютными величинами. ЕГЭ


В большинстве случаев поступающие правильно отвечают, чему равна абсолютная величина данного конкретного действительного числа.


Но когда дело доходит до определения абсолютной величины, довольно часто встречаются бессмысленные ответы


типа: абсолютная величина числа есть «число без знака или «число со знаком плюс», «положительное значение числа».


Абсолютную величину числа называют его модулем.


Это определение позволяет вычислить абсолютную величину любого действительного числа.


При этом надо пользоваться или первой, или второй, или третьей строкой определения в зависимости от того, является ли данное конкретное число положительным, нулем или отрицательным. Например, на вопрос; чему равна абсолютная величина числа —3, полный ответ дается так: —3 < 0;


Следует хорошо понять: то, что выражение |а|всегда положительно или нуль, является не определением абсолютной величины, а следствием его; в определении о знаке выражения |а| нигде ничего не сказано.


Задачи, связанные с абсолютной величиной, решаются, как правило, стандартным приемом — «освобождением от модуля»;


в соответствии с определением рассматриваются все случаи распределения знаков выражений, стоящих под знаком модуля, и в каждом из этих случаев


каждый модуль «раскрывается», т. е. заменяется либо самим выражением, либо противоположным ему по знаку, после чего получается задача, в которой знака модуля нет.


С этим приемом знакомы почти все поступающие. Однако при его применении допускаются следующие две грубые ошибки.


Первая ошибка связана с неправильным пониманием (или, может быть, неправильным применением) определения модуля

в тех случаях, когда под знаком модуля стоит не х, а какое-нибудь выражение.


Как правило, встречаются именно такие случаи.


Вторая ошибка проистекает от недостаточного понимания логической сущности самого приема.


В самом деле, рассмотрение отдельных случаев, скажем, при решении уравнения, означает, что в каждом из них мы ищем решение только в какой-то узкой области, а именно в области, определенной условиями конкретного рассматриваемого случая.


Самое важное состоит в том, что при расстановке на оси точек, соответствующих данным числам, нужно очень внимательно проследить, чтобы не был нарушен порядок следования этих чисел друг за другом.


Поэтому, в частности,


если рассматриваемые числа мало отличаются друг от друга, то не нужно «лепить» их очень близко, а лучше расположить их так, чтобы чертеж был возможно яснее, пусть даже при этом будет несколько нарушен масштаб.


Для расстановки данных чисел часто приходится прибегать к приближенным вычислениям, а иногда даже специально доказывать числовые неравенства.


Освобождаясь от модулей в примерах, где имеются абсолютные величины нескольких выражений, в принципе приходится рассматривать все возможные комбинации знаков этих выражений.


Разобранные примеры достаточно ясно показывают, что


понятие абсолютной величины не доставляет при решении задач принципиальных трудностей, поскольку


от знака абсолютной величины всегда можно избавиться стандартным приемом — рассмотрением отдельных случаев.


Само собой разумеется, что перебор отдельных случаев не является единственным способом решения примеров с модулями.


Очень часто особенности конкретной задачи позволяют находить иные, более короткие и изящные пути решения.


Поэтому, увидев в условии задачи знак абсолютной величины,


не следует «с ходу» рассматривать отдельные случаи; эта возможность решения есть всегда


, но


полезно сначала обдумать поставленную задачу, попытаться подобрать иные пути.


С абсолютной величиной действительного числа тесно связано понятие арифметического корня.


Список рекомендуемой литературы:


1. ЕГЭ 2019. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов + 800 дополнительных заданий части 2. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


2. ЕГЭ 2019. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов заданий. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


3. Г.В.Дорофеев, М.К.Потапов, Н.Х.Розов ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗЫ (избранные вопросы элементарной математики). - М:Наука, 1975