Степени с рациональными показателями. ЕГЭ. Нестандартные задачи. Тригонометрические формулы. Уравнения. Неравенства. Дополнительные условия. Подготовка к экзамену. Тактика на экзамене. Геометрические задачи. Неравенства с двумя неизвестными. Системы уравнений. Методы решения нестандартных задач

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: ut2018@protonmail.com    
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии







Степени с рациональными показателями. ЕГЭ


Эти «нестандартные» задачи бывают разных видов.


Некоторые из них внешне выглядят очень необычно, и поэтому сначала совершенно не ясно, как к ним подступиться.


Другие замаскированы: с виду, например, это обычное уравнение, но стандартными приемами оно не решается. Для решения третьих необходимо очень тонкое и четкое логическое мышление. В четвертых, ... в общем, можно долго перечислять всевозможные особенности этих «нестандартных» задач и вряд ли можно перечислить все возможные особенности.


Эти своеобразные, «нестандартные» задачи требуют и определенной сообразительности, и свободного владения различными разделами математики, и высокой логической культуры


И помимо этого — психологической подготовленности.


Сколько раз бывает, что задача, по существу совсем не сложная, но сформулированная несколько необычно, вызывает непреодолимые трудности!А ее решение и требует-то всего несколько слов.


Конечно, невозможно указать все методы решения «нестандартных» задач. Здесь приходится применять и графики, и самые различные свойства функций, и неравенства, и — последнее по счету, но первое по важности — логику.


Особо подчеркнем, что эти «нестандартные» задачи и «нестандартные» методы их решения ни в коей мере не выходят за рамки программы для поступающих в вузы.


Их «нестандартность» состоит скорее всего не в сложности, а в непривычности. Однако мы надеемся, что «нестандартные» методы, после внимательной проработки превратятся в стандартные, приобретут равные права с уже привычными приемами решения.


Мы разбираем здесь подробно решения некоторых «нестандартных» задач, причем во многих случаях приводим несколько решений, использующих различные подходы к задаче. Заметим сразу же, что сами по себе эти решения несложны, их вовсе нетрудно понять, гораздо сложнее найти эти решения самостоятельно.


Поэтому рекомендуем каждую из разбираемых ниже задач попытаться решить самостоятельно до ознакомления с ее решением.


В этих задачах имеет смысл особенно четко различать «черновое» и «чистовое» решение.


Дело в том, что когда вы только начинаете решать задачу, то идете как бы вслепую, наощупь, проводите какие-то вычисления и рассуждения, не зная еще, какие из них вам действительно нужны, а какие, быть может, впоследствии окажутся лишними.


Таким образом вы получаете в конце концов «черновое» решение. В этом решении, как правило, бывают не очень ясные логические переходы, расплывчатые формулировки, много лишних утверждений и т. д. Однако экзаменаторов не интересует, каким образом вы дошли до окончательных утверждений. Им нужно, чтобы задача была решена, и ее решение было аккуратно обосновано — им нужно «чистовое» решение. Это «чистовое» решение не должно, конечно, копировать в точности весь ход «чернового» решения — зачем повторять путь, по которому вы шли вслепую?


Поэтому полученное вами «черновое» решение следует обработать надлежащим образом.


В ряде разбираемых ниже примеров мы приводим и то и другое решение, однако чаще ограничиваемся лишь «черновым» решением, предоставляя читателям возможность проделать чрезвычайно полезное упражнение по переработке этих решений в «чистовые».


Задачи, нестандартные по внешнему виду


Для того чтобы понять, какие именно задачи мы считаем «нестандартными по виду»


, достаточно просто посмотреть на условия задач, разбираемых ниже.


В этих задачах с первого взгляда ясно, что обычные преобразования, какие-либо алгебраические или тригонометрические формулы не приведут к цели, если наряду с ними не применять рассуждений совершенно иного рода.


Эти рассуждения, как правило, бывают связаны с неравенствами, с графиками и вообще с различными свойствами функций.


Большие трудности у поступающих вызывают задачи, в которых комбинируются уравнения и неравенства или встречаются некоторые дополнительные условия, не являющиеся ни уравнениями, ни неравенствами


— такие, например, как требование целочисленности значений неизвестных.


В связи с этим решением отметим, что во многих задачах, в которых одно или несколько неизвестных являются, по условию, целыми числами, довольно часто приходится прибегать к перебору отдельных значений неизвестных.


Поэтому в тех случаях, когда задача сводится к перебору, следует научиться чувствовать, является ли этот перебор практически целесообразным.


Если, например, требуется рассмотреть 500 значений неизвестного, то вряд ли такой путь решения приведет к цели — на его осуществление на экзамене просто нз хватит времени.


Нельзя, разумеется, однозначно ответить на вопрос, сколько значений стоит перебирать, а сколько не стоит — это зависит и от простоты рассмотрения отдельных случаев


, и от техники решающего, и от его умения рационально организовать такой перебор. В только что разобранной задаче, к примеру, даже прямой перебор 21 значения х не отнял бы слишком много времени — может быть, даже меньше, чем поиск пути, сокращающего этот перебор.


Кстати, и в приведенном выше решении вместо шести значений х достаточно было бы перебрать только три: х—1, 2, 3, если заметить, что вместе с каждой парой (х, у) условию задачи удовлетворяет и пара (—х,—у).


При подготовке к экзамену всегда полезно стараться находить приемы, сводящие перебор к минимуму.


Что же касается тактики на экзамене, то следует соблюдать определенную меру, и ситуация здесь примерно такая же, как в геометрических задачах, где часто приходится выбирать между проведением длинного вычислительного решения и поиском изящной геометрической идеи.


Распространенным типом задач, необычных по внешнему виду, являются «одиночные» уравнения и неравенства с двумя или более неизвестными и системы уравнений, в которых число неизвестных не равно числу уравнений


Несколько таких задач — систем двух уравнений с одним неизвестным — мы уже решили в предыдущих примерах.


Большие психологические затруднения у поступающих обычно вызывают задачи, где неизвестных больше, чем уравнений или неравенств: видимо,

это связано с мнением, явно или неявно выражаемым, что из малого числа условий нельзя определить большое число неизвестных.


Ниже разобранные задачи показывают, что это мнение не соответствует действительности.


Отметим прежде всего, что решить неравенство с двумя неизвестными х и у — значит, естественно, указать все пары чисел х, у, при подстановке которых в данное неравенство получается верное числовое неравенство.


Указать все такие пары можно, очевидно, или непосредственно, так, как, например, они указываются при решении обычных систем уравнений (при этом их может быть и бесконечно много — скажем, для тригонометрических систем), или геометрически—изобразив область, составленную из соответствующих точек плоскости. Поэтому естественно привести данное неравенство к такому виду, чтобы его решения легко изображались на плоскости.




Список рекомендуемой литературы:


1. ЕГЭ 2019. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов + 800 дополнительных заданий части 2. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


2. ЕГЭ 2019. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов заданий. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


3. Г.В.Дорофеев, М.К.Потапов, Н.Х.Розов ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗЫ (избранные вопросы элементарной математики). - М:Наука, 1975