Линейные уравнения. ЕГЭ. Корень уравнения. Множество всех решений уравнения. Рвносильные уравнения. Система линейных уравнений. Метод Гаусса. Метод исключения переменных. Способ введения новых переменных. Способ разложения на множители. Способ подстановки. Способ исключения неизвестных

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: ut2018@protonmail.com    
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии







Уравнения с одним и несколькими переменными. ЕГЭ


Любое предложение вида f(x)=g(x), где f(х) н g(x) — некоторые функции, называется уравнением с одной переменной х(или с одним неизвестным х).


Функция f(х) называется левой частью, a g(x) —правой частью уравнения.


Число а называется корнем (или решением) данного уравнения с переменной х, если при подстановке числа а вместо х в обе

части этого уравнения получаем верное числовое равенство


т. е. если при х = а обе части уравнения определены и их значения совпадают.


Решить данное уравнение — значит найти множество всех корней(решений) этого уравнения в области R.


Два уравнения называются равносильными (эквивалентными), если они имеют одно и то же множество решений


т. е. если каждое решение первого уравнения является решением второго и, наоборот, каждое решение второго уравнения является решением первого уравнения, или если оба уравнения не имеют решений.


Уравнение вида ах = b, где а и b — некоторые заданные числа, называется линейным уравнением.


Пусть заданы два уравнения. Тогда, если любое решение первого уравнения является решением и второго уравнения, то второе уравнение называется следствием, первого.


Каждое решение уравнения f(x)g(x)=0 является решением по крайней мере одного из уравнений f(x)=O или g(х) = 0


Любое предложение вида f(x; y) = g(x; у), где f(х; у) и g(х; у) — некоторые функции переменных х и у, называется уравнением с двумя переменными х и у или с двумя неизвестными х и у.


Функция f(x; у) называется левой частью, a g(x; у) — праюй частью уравнения.


Решением данного уравнения с переменными х, у называется упорядоченная пара чисел(а; b), при подстановке которых соответственно вместо x и у в обе части этого уравнения получается верное числовое равенство.


Множество точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями уравнения, называется графиком этого уравнения.


Уравнение вида ax+by+c=0, где а, b, с — некоторые числа, называется линейным.


Графиком линейного уравнения, у которого хотя бы один из коэффициентов а или b не равен нулю, является прямая.


Если графики уравнений совпадают, то они называются равносильными.


В общем случае решением уравнения с n переменными называется упорядоченный набор из n чисел, при подстановке которых вместо переменных в обе части уравнения получается верное числовое равенство.


Системы уравнений


Любое конечное множество уравнений называется системой уравнений.


В общем случае можно рассматривать систему n уравнений с m переменными (неизвестными)


Решением системы уравнений с n переменными называется упорядоченный набор из n чисел, являющийся решением каждого из уравнений системы. Решить систему — значит найти все ее решения.


Сформулируем несколько правил преобразования систем уравнений.


1. Если в системе заменить какое-либо из уравнений на ему равносильное, а остальные оставить без изменения, то вновь полученная система равносильна исходной.


2. Пусть f = g и u = p — какие-нибудь два уравнения системы. Тогда если в системе заменить уравнение f = g на уравнение f+u=g+p (оно называется суммой уравнений f = g и u=p), а остальные оставить без изменения, полученная система равносильна исходной.


3. Пусть система содержит уравнение х = u, где х — некоторая переменная, а u — некоторая функция, не зависящая от х. Тогда если во всех уравнениях системы, кроме уравнения х = u, вместо х подставить u, полученная система равносильна исходной.


На этом правиле основан способ решения систем, который называется способом подстановки или способом исключения неизвестных. Он сводит решение данной системы к решению системы меньшего числа уравнений с меньшим числом переменных (неизвестных).


4. Если система содержит уравнение fg = O, то она распадается на две системы, в одной из которых уравнение fg = 0 заменено на f = 0, а в другой — на g = 0. При этом каждое решение данной системы является решением одной из полученных систем.


Если же функции f и g определены на одном и том же множестве, то каждое решение полученных систем является решением исходной системы. В этом случае говорят, что данная система равносильна совокупности полученных систем.


На этом правиле основан способ решения систем, называемый способом разложения на множители.


Способ, который применялся при решении системы, называется способом введения новых переменных(неизвестных). Этот способ часто применяется при решении систем.


Системы линейных уравнений


При нахождении решений системы m линейных уравнений с n переменными удобно пользоваться методом Гаусса.


Этот метод является частным случаем метода исключения переменных и состоит в том, что равносильными преобразованиями данную систему приводят к так называемой треугольной форме.


Решение системы линейных уравнений приведением к треугольной форме называется методом Гаусса.


Система линейных уравнений может иметь одно решение, бесконечное множество решений и может не иметь ни одного решения.


Задачи на составление уравнений


Список рекомендуемой литературы:


1. ЕГЭ 2019. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов + 800 дополнительных заданий части 2. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


2. ЕГЭ 2019. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов заданий. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


3. ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗЫ. Под редакцией Г. Н. Яковлева - М: Наука, 1982