Квадратные уравнения и уравнения, приводящиеся к ним. ЕГЭ. Математика. Дробные алгебраические уравнения. Уравнения, содержащие абсолютные величины. Система линейных уравнений. Метод последовательного исключения неизвестных. Разложение на множители. Метод группировки. ОДЗ. Иррациональные уравнения

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: ut2018@protonmail.com    
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии







Уравнения и системы уравнений. ЕГЭ


С понятием «уравнение» на уроках математики мы знакомимся уже в начальной школе, а задача «решить уравнение», вероятно, наиболее часто встречающаяся задача. Тем не менее дать точное определение понятия «уравнение», точно определить, что значит «решить уравнение», не выходя далеко за рамки курса элементарной математики, мы не можем.


Для этого необходимо привлекать весьма серьезные логические и даже философские категории. Нам вполне достаточно знакомства с этими понятиями на уровне «здравого смысла».


Рассмотрим два уравнения А и В с одним и тем же неизвестным.


Мы будем говорить, что уравнение В является следствием уравнения А, если любой корень уравнения А является корнем уравнения В.


Уравнения называются эквивалентными, если любой корень одного из них является корнем другого, и наоборот.


Таким образом, уравнения эквивалентны, если каждое из них является следствием другого.


Из данных определений следует, например, что два уравнения, не имеющие решений, эквивалентны. Если А не имеет решения, то В является следствием А, каково бы ни было уравнение В.


Наиболее распространенный (стандартный) путь решения уравнений состоит в том, что с помощью стандартных приемов решение данного уравнения сво-дится к решению нескольких элементарных уравнений с последующим анализом найденных корней.


Стандартными мы будем называть приемы и методы решения уравнений, в которых используются преобразования (раскрытие скобок, освобождение от знаменателя, приведение подобных членов, возведение в натуральную степень обеих частей уравнения и т. д.), разложение на множители (формально этот прием или метод относится к преобразованиям, но мы его выделяем, так как в ряде случаев он выступает самостоятельно и специфически), введение вспомогательных неизвестных.


Дробные алгебраические уравнения, т. е. уравнения, содержащие многочлены и алгебраические дроби;


иррациональные уравнения, т. е. уравнения, содержащие радикалы, под которыми располагаются многочлены или алгебраические дроби.


Аналогично классифицируются рассматриваемые в этой главе системы уравнений. Обращаем внимание на то, что основные принципы и методы решения уравнений, которые будут здесь изложены, носят достаточно общий характер. Ими мы будем руководствоваться и пользоваться в параграфах, где рассматриваются показательные, логарифмические, тригонометрические и иные виды уравнений.


Меняются в основном лишь начальная и конечная стадии. В частности, иным будет список элементарных уравнений, расширяется набор преобразований, типы замен.


Очень часто решение соответствующего алгебраического уравнения (рационального, иррационального) является со-ставной частью решения уравнения логарифмического, тригонометрического.


Все сказанное здесь относится с некоторыми уточнениями к системам уравнений. Во всех примерах мы ограничиваемся нахождением действительных корней. Прежде чем перейти к рассмотрению примеров, сделаем одно замечание. В некоторых местах мы, объясняя решение, для краткости будем использовать не совсем аккуратные, но вполне понятные обороты, как, например, «умножим на...», «сложим два уравнения», «перемножим два уравнения» и т. д. Понятно, что соответствующая операция производится с каждой частью (частями) уравнения (уравнений), в результате чего получается новое уравнение.


Рациональные уравнения, приводящиеся с помощью преобразований к линейным и квадратным


Умение решать линейные и квадратные уравнения — алгебраические уравнения 1-й и 2-й степени — относится к списку умений, которыми, вне всяких сомнений, должен обладать каждый выпускник средней школы.


Иррациональные уравнения. Появление лишних корней


При стандартном способе решения уравнения возникает цепочка той или иной длины, соединяющая исходное уравнение с уравнением (или уравнениями), которое мы умеем решать, элементарным. Конечно, было бы очень хорошо, если бы каждое уравнение цепочки было эквивалентно предыдущему, а следовательно, и исходному.


Но этого не всегда легко добиться, тем более, что получающаяся цепочка может и разветвляться.


Легче следить за тем, чтобы каждое следующее уравнение было следствием предыдущего, чтобы корни «по дороге» не терялись.


Если мы не сумеем организовать решение уравнения указанным образом, то нам необходимо после решения последнего уравнения (уравнений) найти способ отсеять лишние корни, отобрать правильные.


В частности, это можно сделать при помощи проверки. В этом случае (и только в этом!) проверка является элементом решения и необходима даже тогда, когда лишние корни не появились, но ход решения был таков, что они могли появиться.


С другой стороны,


иногда нам легче сделать проверку, чем обосновывать то, что в ней нет необходимости.


В этом случае она, по существу, также является элементом решения, заменяя необходимое обоснование. И наконец, проверка может быть средством контроля правильности проделанных вычислений (делается «для себя»).


Однако не всегда проверку легко осуществить.


Лишние корни, которые могут появиться вследствие того, что в процессе решения уравнение возводилось в квадрат (или в любую четную степень), должны быть отброшены


на основании следующего простого и очевидного утверждения (настолько простого и очевидного, что оно не заслуживает звания теоремы).


Возведение в квадрат — один из стандартных способов избавления в уравнении от квадратных радикалов, но не единственный.


Если таких радикалов несколько, то уравнение приходится возводить в квадрат неоднократно.


(Обычно всякий раз один радикал уединяется, т. е. его располагают в одной из частей уравнения, а все остальное переносят в другую часть.


Кстати, при этом нет нужды заботиться о том, чтобы выражение, находящееся под знаком уединенного радикала, было неотрицательно.)


В этом случае корнями исходного уравнения будут лишь те корни первого уравнения без радикалов, которые дают числа одного знака в обеих частях всех промежуточных уравнений, возводившихся в квадрат.


Еще один способ избавления от радикалов — введение вспомогательных неизвестных — рассматривается в соответствующих параграфах.


Область допустимых значений неизвестного


Областью определения уравнения или областью допустимых значений (сокращенно ОДЗ) уравнения называется множество тех значений неизвестного, при которых имеют смысл его левая и правая части.


Во введении понятия ОДЗ особой необходимости нет, поскольку, как это следует из самого его определения, при решении любого уравнения мы не имеем права рассматривать значения неизвестного, не входящие в ОДЗ.


Уравнение может быть правильно решено, если в решении отсутствует даже упоминание об ОДЗ. И наоборот, верно найденная ОДЗ и последующий отбор корней по нему не гарантируют от ошибок. Универсальных рецептов здесь нет и быть не может.


Более того, любая, даже в принципе полезная рекомендация, которая может быть истолкована как универсальная, превратившись в догму, принесет лишь вред, о чем, в частности, свидетельствует короткая, но поучительная история возникновения и распространения понятия ОДЗ.


Замена неизвестного


Введение нового неизвестного, относительно которого уравнение имеет более простой, легко приводимый к стандартному вид или даже просто упрощающее вид уравнения, — важнейший метод решения уравнений любых видов и типов.


Прежде чем рассмотреть примеры, дадим два совета.


Первый:


новое неизвестное следует вводить сразу, при первой возможности.


Второй:


после введения нового неизвестного получившееся уравнение следует полностью решить с этим неизвестным у лишние корни отбросить, если таковые появились, и лишь затем вернуться к первоначальному неизвестному.


Заметим, что в рассмотренных примерах были показаны некоторые достаточно распространенные виды и способы замены неизвестного. В одних случаях такую замену можно сделать сразу, в других — после ряда целенаправленных преобразований.


Главное здесь — сделать замену вовремя, не тянуть с нею до конца, не прозевать нужный момент.


Нахождение рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами.


Разложение на множители


Разложение левой части уравнения на множители (правая часть равна нулю) — достаточно распространенный прием решения самых различных уравнений.


Здесь нет общих рецептов. Многое зависит от вашего умения, сообразительности, наблюдательности и опыта. Есть, правда, исключения. Об одном общем методе разложения на множители некоторых алгебраических уравнений мы расскажем в этом пункте.


В одних случаях нужное разложение естественным образом определяется самим уравнением.


Произвести это разложение можно с помощью метода, который назовем методом группировки.


Системы уравнений


Сведение к системе алгебраических уравнений, в частности к симметричной системе, — достаточно распространенный метод решения иррациональных уравнений с одним неизвестным.


Наиболее простым и, вероятно, самым распространенным методом, применяемым при решении системы уравнений, является метод последовательного исключения неизвестных.


Любая система линейных уравнений может быть решена этим методом. Суть его в следующем.


Выражаем одно неизвестное из одного уравнения через остальные и подставляем в оставшиеся. Получаем новую систему, в которой число уравнений и неизвестных уменьшилось на 1.


С новой системой поступаем таким же образом и так до тех пор, пока это возможно.


Если в системе некоторые уравнения не линейны, то этот метод можно применить не всегда.


Однако он может быть использован как прием, за счет которого можно решение данной системы свести к решению системы, состоящей из меньшего числа уравнений и неизвестных.


Достаточно часто встречаются системы, в которых одно уравнение является квадратным относительного какого-либо неизвестного или комбинации неизвестных.


Вообще, составление комбинаций из данных уравнений, в результате которых получаются более простые уравнения, достаточно распространенный прием при решении систем.


Уравнения, содержащие абсолютные величины


Наиболее распространенным методом решения уравнений и систем уравнений, содержащих абсолютные величины, является метод, при котором знак абсолютной величины раскрывается на основании ее определения.


Можно, наконец, вообще не решать неравенств, а рассмотрев весь набор уравнений, который может получиться при раскрытии знака абсолютной величины и среди решений которых содержатся все решения исходного уравнения, решить их и отобрать (например, с помощью проверки) корни, удовлетворяющие исходному уравнению.


Рассмотрены виды уравнений и методы решения, которые условно можно назвать стандартными.


Мы не рассматривали здесь уравнения с параметрами, уравнения, в которых необходимо найти целочисленные решения, и другие виды уравнений с «нестандартными» условиями. Точно так же нерассмотренными оказались многие интересные методы решений: использование монотонности, экстремальных свойств, входящих в уравнение функций, логические методы и т. д.


Все эти виды уравнений и методы их решения мы «объявляем» нестандартными и будем их рассматривать в соответствующих параграфах.


Не следует думать, что любое нестандартное уравнение труднее для решения, чем стандартное. Легко привести примеры очень простых

уравнений, решаемых, однако, формально «нестандартными методами».


Список рекомендуемой литературы:


1. ЕГЭ 2019. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов + 800 дополнительных заданий части 2. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


2. ЕГЭ 2019. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов заданий. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


3. Математика для поступающих в вузы : учеб. пособие / И. Ф. Шарыгин. — 6-е изд., стереотип. — М. : Дрофа, 2006. — 479с.