Иррациональные уравнения. ЕГЭ. Тригонометрическое уравнение. Отбрасывание лишних корней. Появление лишних корней. Область допустимых значений. ОДЗ. Потеря корней. Равносильные уравнения. Тождественные преобразования. Посторонние корни. Расширение ОДЗ. Сужение ОДЗ. Применение тригонометрических формул

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: ut2018@protonmail.com    
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии







Иррациональные уравнения. ЕГЭ


Окончившие среднюю школу обычно хорошо владеют техническими, вычислительными навыками, необходимыми для решения уравнений.


Однако далеко не все понимают те теоретические, логические основы, без которых правильно решить уравнение невозможно (разве что случайно, на что рассчитывать, конечно, бессмысленно).


Это и проявляется на экзамене:


упростить уравнение с помощью безошибочно проведенных выкладок умеет большинство, но заметить, как и почему эти выкладки приводят к потере или приобретению решений, может не каждый, а очень многие об этом даже и не задумываются


Другие же, хотя и знают некоторые относящиеся сюда теоретические положения, но знают их формально, как некоторую инструкцию, и беспомощны в чуть-чуть измененной ситуации.


Скажем, школьникам хорошо известно, что при возведении обеих частей иррационального уравнения в квадрат могут появиться посторонние корни.


Но сколько раз приходилось видеть, когда возведение в квадрат применяется к тригонометрическому уравнению без последующего отбрасывания лишних корней! А ведь этой ошибки легко избежать, зная, почему возведение в квадрат приводит к появлению лишних корней.


Или взять вопрос о проверке. Среди поступающих по этому вопросу бытуют два совершенно противоположных мнения.


Одни считают, что проверка — это прихоть экзаменаторов и учителей, которой волей-неволей приходится подчиняться, другие считают, что проверка всегда и всюду обязательна и проверяют все, вплоть до корней квадратного уравнения.


Оба эти мнения основаны на непонимании того, что такое проверка, какое место она должна занимать в решении.


Короче говоря, каждый должен владеть тем минимумом теоретических знаний, который необходим для решения уравнений.


Прежде всего приведем определения.


1. Областью допустимых значений (ОДЗ) уравнения называется множество значений неизвестного, при которых имеют смысл (определены) его левая и правая части. Всякое число х из ОДЗ уравнения называется, естественно, допустимым для данного уравнения.


2. Число а из ОДЗ уравнения называется решением (корнем) уравнения, если при подстановке его вместо неизвестного уравнение превращается в верное числовое равенство.


3. Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет.


4. Если все корни одного уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого.


5. Два уравнения называются равносильными (эквивалентными), если они имеют одни и те же решения. Из этого определения следует, что каждое из двух равносильных уравнений является следствием другого.


6. Два уравнения равносильны на некотором множестве значений неизвестного, если они имеют одни и те же решения, принадлежащие этому множеству


Каким же образом работают введенные понятия при решении уравнений? Дело в том, что в подавляющем большинстве случаев решение получается лишь после длинной цепи преобразований, переходов от одного уравнения к другому.


В процессе решения, таким образом, каждое уравнение заменяется на какое-то новое, а у нового уравнения, естественно, могут быть новые корни.


Проследить за этим изменением корней, не допустить потери и суметь отбросить лишние корни — это и есть задача правильного решения уравнений. Ясно, что самый лучший способ — каждый раз заменить очередное урабненйе на равносильное тогда корни последнего уравнения и будут корнями исходного. Но этот идеальный путь на практике обычно неосуществим.


Как правило, уравнение заменяют его следствием, вообще говоря, ему не равносильным; при этом, по определению следствия, все корни первого уравнения являются корнями второго, т. е. потеря корней не происходит, но посторонние корни могут появиться (а могут и не появиться)


И в случае, когда хотя бы один раз в процессе преобразовании урэвнрние заменялось на неравносильное ему следствие, обязательно исследование полученных корней — проверка. Заметим сразу же, что, как мы увидим ниже, это исследование вовсе не обязательно требует непосредственной подстановки полученных корней в исходное уравнение.


Таким образом, если


решение проводилось без анализа равносильности и источников появления посторонних корней, то проверка является неотъемлемой частью решения, без которой оно не может быть признано полноценным, даже если посторонние корни на самом деле не появились


Если же они появились и не отброшены, то решение просто неверно.


С другой стороны, если каждый раз уравнение заменялось на равносильное (что, впрочем, как мы уже сказали, бывает редко), причем этот факт специально оговаривался в процессе решения, то проверка не нужна.


Таким образом, понятие проверки при решении уравнений играет вполне, определенную и весьма существенную роль и отнюдь не сводится к простому контролю вычислений.


Что же касается контроля вычислений, го это личное дело каждого решающего; его можно проводить или не проводить в зависимости от своей техники вычислений, от уверенности в себе.


На экзамене лучше контролировать себя всегда.


Но делать это надо на черновике, и включать такой контроль в решение незачем.


Подчеркнем, что


заменять уравнение на другое, не являющееся его следствием, нельзя, ибо в этом случае имеется корень первого уравнения, не являющийся

корнем второго, а тогда, решив это второе уравнение, мы все равно не найдем всех корней первого


В результате произойдет потеря корня, что уже непоправимо.


В этом существенная разница между потерей корней и приобретением лишних корней.


На практике нужно хорошо знать именно конкретные источники приобретения и потери корней.


Эти источники бывают, в основном, двух типов: так называемые «тождественные преобразования» и взятие от обеих частей уравнения некоторых функций (возведение в степень, логарифмирование, потенцирование и т. д.).


«Тождественные преобразования», на первый взгляд совершенно безобидные, в действительности часто приводят к неравносильным уравнениям, поскольку они изменяют ОДЗ.


Поэтому замена одной части формулы на другую приводит к расширению или сужению ОДЗ.


Ясно, что из-за расширения ОДЗ возможно приобретение лишних корней, а из-за сужения ОДЗ — потеря корней, так что сужение ОДЗ недопустимо.


Что же касается лишних корней, то в случае, когда они приобретены за счет расширения ОДЗ, для их отделения от корней исходного уравнения нет необходимости подставлять их непосредственно в это исходное уравнение — достаточно лишь проверить, входят ли они в его ОДЗ, и если не входят, то отбросить, а если входят, то оставить. Этот факт имеет исключительное значение для практики решения уравнений, и поэтому мы его выделим.


Если в процессе преобразований уравнения посторонние корни могли появиться только за счет расширения ОДЗ, то корнями исходного уравнения будут те и только те из них, которые входят в ОДЗ.


Использование этого утверждения избавляет нас от непосредственной подстановки полученных корней в уравнение и технической проверки соответствующих числовых равенств, которая нередко бывает весьма затруднительной, а иногда и просто невозможной из-за того, что проверяемых чисел бесконечно много.


Итак, вместо непосредственной подстановки можно применять проверку на вхождение в ОДЗ, но только в том случае, когда источник появления посторонних корней один — расширение ОДЗ.


Следовательно, для использования проверки на вхождение в ОДЗ совершенно обязательно явно указывать в процессе решения, где и за счет чего могут появиться посторонние корни.


Если обе части уравнения неотрицательны на некотором множестве значений аргумента, то при возведении в квадрат получается уравнение, равносильное исходному на этом множестве. В самом деле, в этом случае «постороннее» уравнение, очевидно, не имеет корней, разве лишь те, при которых обе части обращаются в нуль — но они и не являются лишними для нашего уравнения, Как это утверждение применяется на практике, мы покажем ниже на конкретных примерах.


Таков тот теоретический «багаж», который должен быть у каждого поступающего. Следует подчеркнуть в то же время, что использование всей этой теории не всегда целесообразно, и при решении примеров нужно соблюдать какую-то меру, стремясь всегда к самому простому решению.


Если, скажем, при решении на черновике выяснилось, что простая проверка полученных корней не представляет труда, то незачем ни выяснять источники приобретения корней, ни интересоваться изменением ОДЗ в процессе решения, ни даже вообще находить ОДЗ; если же эта проверка затруднительна, то выручают именно теоретические рассуждения — в соответствующем месте (и обязательно в чистовике) нужно исследовать преобразование, которое могло привести к появлению лишних корней.


В то же время в любом решении должна быть уверенность, что не происходит потери корней. Это также полезно явно оговаривать, особенно если применяемое преобразование достаточно сложно.


Невниманием к ОДЗ объясняются ошибки при решении уравнений, у которых в левой части стоит некоторая дробь, а в правой части — нуль. Часто для решения такого рода уравнения просто отбрасывают знаменатель и приравнивают числитель нулю.


Для правильного же решения следует приравнять числитель нулю, найти корни получившегося уравнения и выбросить из них те, которые обращают в нуль знаменатель.


Довольно распространенной и очень грубой ошибкой, приводящей к потере корней, является сокращение обеих частей уравнений на общий множитель.


Ясно, что при этом могут быть потеряны корни, которые обращают в нуль этот общий множитель.


В этих случаях лучше всего перенести все в левую часть, вынести общий множитель за скобки и рассмотреть два случая: 1) общий множитель равен нулю; 2) общий множитель не равен нулю — тогда обязательно равно нулю выражение в скобках. Можно также рассмотреть сначала случай, когда общий множитель равен нулю, а затем на него сократить.



Очень часто при решении уравнений поступающие неправильно пользуются следующим утверждением: «Если две степени равны, их основания равны и отличны от 0 и 1, то и показатели степеней равны». Как правило, они забывают о выделенном курсивом ограничении. В результате теряются корни — именно те, при которых основание равно 0 или 1.


Таким образом, при пользовании правилом перехода от равенства степеней одного и того же неотрицательного основания к равенству показателей нужно рассматривать три случая:


основание степени равно 0, основание степени равно 1, показатели степеней равны. Это рассмотрение позволяет избежать потери корней.


Однако посторонние корни при таком решении могут появиться, В самом деле, в каждом из этих случаев приходится, вообще говоря, решать уравнение, и поскольку все эти три уравнения решаются уже совершенно изолированно друг от друга, может оказаться, что некоторые их решения не будут входить в ОДЗ исходного уравнения. Так и случилось в последних двух примерах.


Следовательно, после применения правила перехода от равенства степеней к равенству показателей и после решения соответствующих уравнений обязательно надо делать проверку.


При этом достаточно установить лишь, что проверяемый корень входит в ОДЗ исходного уравнения; тогда корень автоматически будет ему удовлетворять.


Часто причиной потери корней является применение тригонометрических формул.


Как известно левая и правая части тригонометрической формулы могут иметь различную область допустимых значений. Таковы, например, формулы так называемой «универсальной подстановки», выражающие синус и косинус через тангенс половинного угла. В этих формулах левая часть имеет более широкую область допустимых значений, и поэтому, заменяя в уравнении левую часть формулы правой, мы сужаем его ОДЗ, т. е. рискуем потерять корни.



Список рекомендуемой литературы:


1. ЕГЭ 2019. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов + 800 дополнительных заданий части 2. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


2. ЕГЭ 2019. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов заданий. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


3. Г.В.Дорофеев, М.К.Потапов, Н.Х.Розов ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗЫ (избранные вопросы элементарной математики). - М:Наука, 1975