Системы алгебраических уравнений. ЕГЭ. Уравнения. Системы уравнений. Отбрасывание посторонних корней. Подстановка неизвестного. Определенная система. Неопределенная система. Специальные замены переменных. Способы решения систем уравнений. Равносильность уравнений. Равносильность систем

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: ut2018@protonmail.com    
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии







Системы алгебраических уравнений. ЕГЭ


Уравнения и системы уравнений — один из самых распространенных типов экзаменационных задач


Эти задачи связаны, как правило, с трудностями двоякого рода —


во-первых, надо найти путь решения, способ преобразования данного уравнения или системы, позволяющий добиться достаточного упрощения


и,


во-вторых, надо осуществить эти преобразования так, чтобы не допустить ни потери корней, ни приобретения лишних корней.


Опыт экзаменов показывает, что подавляющее большинство поступающих более или менее усвешно преодолевает трудности «поискового» характера, но очень и очень многие не в силах справиться с трудностями второго рода.


Что касается трудностей «поискового» характера, то они весьма многообразны и описать их не представляется возможным. Мы разберем только два примера, для решения которых нужно применить специальные замены переменных. Эти замены не сразу очевидны и бывают полезны при решении задач, в том числе и не только уравнений.


Сделаем несколько замечаний о способах решения систем уравнений.


При решении систем, как и при решении «одиночных» уравнений, существенное значение имеют понятие разносильности и примыкающие к нему понятия


Этот параграф посвящен, однако, вопросам, связанным только с «одиночными» уравнениями. Дело в том, что, несмотря на полное логическое сходство теоретических рассуждений, относящихся к равносильности уравнений и равносильности систем,


использование понятия равносильности при решении систем на практике связано с гораздо большими трудностями, чем при решении уравнений, и поэтому им, как правило, не пользуются


Трудности особого рода, возникающие при, решении систем, связаны, конечно, только с теми преобразованиями системы, которые задевают несколько уравнений системы


Но таких преобразований достаточно много — каждый знает, какие изощренные приемы применяются порой для решения систем.


Поэтому


при решении систем обычно применяется только один из двух путей для решения уравнений, — выведение следствий, не обязательно равносильных данной системе, и последующее отбрасывание посторонних корней


При этом мы переходим даже не к системам, являющимся следствиями исходной, а к отдельным уравнениям, каждое из которых является следствием исходной системы, т. е. удовлетворяется любым решением системы. Комбинируя эти уравнения, мы получаем из них системы, являющиеся следствиями исходной системы, и в конце концов получаем некоторые наборы неизвестных.


Наконец,


проверкой (как правило, непосредственной подстановкой) мы отбрасываем посторонние решения


Для того чтобы идти таким путем, разумеется,


надо уметь не допускать преобразований, приводящих к потере решений


каким, например, является деление обеих частей одного уравнения на обе части другого уравнения — ясно, что при этом будут потеряны те решения системы, при которых обе части второго уравнения обращаются в нуль. С другой стороны,


большинство наиболее часто применяющихся преобразований — сложение, вычитание, умножение уравнений, подстановка неизвестного из одного уравнения в другое и т. п. — не могут привести к потере решений и потому допустимы.


Обдумывать вопрос, может ли привести к потере решений конкретное более или менее сложное преобразование, обычно приходится в каждом отдельном случае.


Безусловно, непосредственная проверка получающихся решений может иногда представить определенные затруднения, и для того, чтобы ее избежать, можно пользоваться, как правило, теми рекомендациями, которые даны для решения уравнений. Поясним все сказанное на одном примере.


Остановимся еще на системах двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Исследование такой системы в самом общем виде, т. е. без всяких ограничений на коэффициенты, вызывает у поступающих серьезные трудности.


Доказано несколько теорем, которые и являются содержанием исследования системы. Однако при таком расположении материала поступающие оказываются часто не в состоянии собрать все эти теоремы воедино, чтобы дать полный ответ на соответствующий вопрос экзаменационного билета. Поэтому мы сформулируем одну теорему, которая исчерпывает исследование системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.


Прежде чем формулировать упомянутую теорему, обратим особое внимание на сознательное применение определения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными; очень многие поступающие дают определение совершенно празильное, но при его использовании допускают грубые ошибки.


В учебникох, к сожалению, нет терминов «определенная система» и «неопределенная система», полезных при исследовании систем:


система называется определенной, если она имеет ровно одно решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.


Заметим, впрочем, что не следует впадать в крайность, стремясь решать любую задачу, связанную с системой линейных уравнений, только с полным использованием приведенной теоремы.


Иногда более полезно бывает учесть конкретные особенности решаемой задачи




Список рекомендуемой литературы:


1. ЕГЭ 2019. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов + 800 дополнительных заданий части 2. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


2. ЕГЭ 2019. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов заданий. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


3. Г.В.Дорофеев, М.К.Потапов, Н.Х.Розов ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗЫ (избранные вопросы элементарной математики). - М:Наука, 1975