«Текстовые» задачи. ЕГЭ. Составление систем уравнений и неравенств. Запись системы уравнений и неравенств. Число неизвестных больше числа уравнений. Уметь использовать «скрытое» условие задачи. Надо внимательно проанализировать текст задачи и найти это "скрытое" условие. Задачи на движение. Задачи на работу

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: ut2018@protonmail.com    
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии







«Текстовые» задачи

Мы называем «текстовыми» задачи, традиционно называющиеся задачами на составление уравнений.

Дело в том, что на вступительных экзаменах, особенно в последнее время, все чаще предлагаются задачи, в которых для решения, для нахождения требуемых неизвестных величин, приходится пользоваться не только уравнениями, но и неравенствами, а иногда и другими условиями, которые не записываются в форме уравнений и неравенств.

Заметим, что неравенства содержатся практически во всех задачах такого рода; если, например, s — расстояние, то s > О и т. п.

Однако обычно их явно не выписывают, но используют при решении уравнений и при отбрасывании лишних решений. Поэтому главным, что объединяет задачи такого типа, является лишь то, что

условие задано в форме некоторого текста, без формул, даже без буквенных обозначений неизвестных.

Кроме того, привычка большинства поступающих рассматривать всякую текствую задачу как задачу на составление уравнений оказывает иногда плохую услугу: они оказываются психологически неподготовленными к тому, что одних уравнений для решения задачи недостаточно. Задачи обычного типа, в которых все условия записываются в виде уравнений, как правило, не вызывают особенных трудностей у поступающих, хотя и в этих задачах отдельные моменты доставляют порой затруднения. Что же касается задач более сложных, то их трудность объясняется, как правило, именно их непривычностью, необходимостью рассуждать, а не просто решать некоторые системы уравнений или неравенств. Начнем с задач, наиболее часто предлагаемых на вступительных экзаменах в последние годы, — с задач на движение и на работу.

При решении задач на движение обычно вводятся в рассмотрение скорости (v1, v2, ...), путь и его части (s, s1, s2, ...) и время (t1, t2, ...), необходимое для прохождения пути или его частей.

Большие трудности у поступающих возникают при составлении систем уравнений в тех случаях, когда происходит движение по замкнутой траектории, например, по окружности.

Часто при решении таких задач поступающие с трудом представляют себе картину движения и потому не видят условий, из которых вытекают те или иные уравнения.

При решении задач на работу обычно приходится рассматривать части всей работы, выполняемые в тот или иной срок. Рассмотрение частей всей работы позволяет просто составить систему уравнений.

Многие поступающие очень боятся задач, в формулировках которых участвуют слова «сплавы», «отношения», «смеси». Увидев такую задачу, они сразу решают, что это очень трудная задача. На самом деле эти задачи обычно довольно просты.

Не меньшие трудности у поступающих вызывают задачи на проценты.

Между тем ничего трудного в понятии «процент» нет: мы можем избавиться от процентов, рассматривая соответствующее количество сотых долей числа.

Во многих случаях трудности возникают при решении получающихся систем, особенно в тех случаях, когда для отыскания необходимого неизвестного требуется некоторая догадка или искусственный прием.

Такой прием часто облегчает выкладки, или вообще указывает единственно возможный путь к решению задачи. Следует подчеркнуть, что задачи с буквенными (а не с числовыми) данными бывают на экзаменах достаточно часто. Конечно, правильно проведенное исследование не ухудшает решения задачи, но это исследование не является логически необходимым элементом решения, поскольку в условии задачи обычно подразумевается, что все описываемые реальные процессы действительно происходили и, следовательно, буквенные данные уже удовлетворяют необходимым соотношениям. Разумеется, такое исследование проводить надо, если это явно требуется в условии задачи. Довольно часто при решении «текстовых» задач в получающейся системе бывают однородные уравнения второй степени с двумя неизвестными. К сожалению, мало кто из учащихся понимает, что наличие однородных уравнений помогает решить систему уравнений. Действительно, из однородного уравнения второй степени с двумя неизвестными немедленно определяется отношение этих неизвестных, что, естественно, упрощает дальнейшие вычисления.

Для получения ответа в текстовых задачах очень часто надо уметь использовать «скрытое» условие задачи. Для получения ответа в таких задачах надо внимательно проанализировать текст задачи и найти это "скрытое" условие.

Совершенно непреодолимые трудности у поступающих вызывают задачи, где после правильной записи условий в виде системы уравнений получается, что число неизвестных больше числа уравнений.

Гораздо хуже обстоит дело с решением тех задач, в которых часть условий задачи приходится явно записать в виде неравенств.

Многие из поступающих, правильно записав систему уравнений и неравенств, даже не приступают к ее решению. Объясняется это, по-видимому, тем, что они психологически не готовы к решению таких систем.

На вступительных экзаменах в вузы в последние годы нередко предлагают задачи, в которых требуется найти оптимальное решение — скажем, на данную сумму денег купить наибольшее количество деталей или из нескольких возможных вариантов перевозок груза выбрать тот, который будет стоить дешевле остальных и т. п.

Решения подобного сорта задач могут состоять из составления систем уравнений и неравенств и из их решения.

Однако самым необходимым элементом решения таких задач являются рассуждения, помогающие как раз выбрать наилучший вариант.

Литература:

1. Г.В.Дорофеев, М.К.Потапов, Н.Х.Розов ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗЫ (избранные вопросы элементарной математики). - М:Наука, 1975