Показательные уравнения. ЕГЭ. Математика. Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Степень с действительным показателем. Потенцирование. Логарифмирование. Основное логарифмическое тождество. Свойства логарифмов. Тождество. Функция. Область определения функции. Значение функции
Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии
Показательные уравнения. ЕГЭ
Степень с целым показателем
После того как определена степень с натуральным
показателем, следующим этапом является распространение
понятия степени на случай любых целых показателей.
Приняв это определение степеней с нулевым и
отрицательными показателями, мы можем теперь поставить вопрос
о том, сохраняются ли при таком понимании степени
указанные выше свойства. Оказывается, что все свойства
сохраняются, кроме свойства, которое для нулевого и отрицательных показателей теряет смысл.
Степень с рациональным показателем
Дальнейшим этапом является распространение понятия
степени на случай рациональных показателей.
Однако принятое определение страдает одним
недостатком.
Итак, мы принимаем соотношение за определение степени
с рациональным показателем, причем основание степени а
всегда считаем положительным. Теперь мы можем поставить
вопрос, сохраняются ли при таком понимании степени
рассматривавшиеся ранее свойства. Оказывается, что
все свойства, кроме одного, сохраняются.
Степень с действительным показателем
Теперь мы подходим к заключительному этапу
обобщения — к распространению понятия степени на случай любых
действительных, показателей. Как и в случае рациональных
показателей, мы должны ограничиться случаем, когда
основание степени положительно. Мы должны так определить
степень с действительным показателем, чтобы в случае
рациональных показателей степень имела тот же смысл, и чтобы для степеней с действительными показателями
сохранились все свойства, указанные в предыдущем
параграфе.
Итак, формула дает определение степени с
действительным показателем.
Оказывается при этом, что все свойства степеней, рассмотренные в предыдущем параграфе для случая рациональных показателей степени, сохраняются и для действительных показателей
Логарифмические и показательные уравнения
Рассмотрим преобразования, которые чаще всего
применяются при решении логарифмических и показательных
уравнений.
Потенцирование.
Как видно, здесь рассматривается общий случай, когда
неизвестное х входит и в основание логарифмов, и в
выражения, стоящие под знаком логарифма.
Потенцирование является допустимой операцией, т. е. при этом преобразовании потери корней не происходит. Однако могут появиться посторонние корни
Логарифмирование.
Логарифмирование и потенцирование — взаимно обратные преобразования
Иными словами, мы берем от обеих частей уравнения логарифмы
Сразу же ясно, что логарифмирование является, вообще говоря, недопустимой операцией. Ведь если при переходе от уравнения к уравнению могут появиться посторонние корни, то это означает, что при переходе от уравнения к уравнению часть корней уравнения может быть утеряна.
Таким образом, в результате логарифмирования произошла
потеря корней. Значит, логарифмирование было в данном
случае недопустимым преобразованием.
В каких же случаях все же можно применять
логарифмирование? На этот вопрос легко ответить, вспомнив
сказанное ранее.
Применение основного логарифмического тождества.
Такое преобразование всегда допустимо, т. е. потери корней
при этом преобразовании не происходит. Но могут появиться
посторонние корни (по тем же причинам, что и при
потенцировании).
Таким образом, применение основного логарифмического
тождества привело к появлению посторонних корней. Значит,
при применении этого преобразования проверка необходима.
Переход к новому основанию логарифмов.
Применение свойств логарифмов.
Мы рассмотрели два случая использования знака = в
алгебре: для записи числовых равенств и для записи тождеств
(в последнем случае он иногда заменяется знаком =). В
совершенно ином смысле используется знак = при
рассмотрении уравнений.
Уравнение с одним неизвестным х в общем случае записывается в виде f(x)=g(x), где f(x) и g(x) — произвольные функции
Таким образом, по внешнему виду уравнение выглядит так же, как и тождество: две функции, соединенные знаком равенства. Но когда мы говорим, что соотношение есть уравнение, то это показывает наше отношение к этому равенству
Именно, когда мы говорим, что есть уравнение, то это означает, что равенство рассматривается как неопределенное высказывание (при одних значениях х истинное, при других — ложное), и мы интересуемся нахождением корней этого уравнения, т. е. таких значений х, при подстановке которых это неопределенное высказывание становится истинным
Более подробно,
корнем (или решением) уравнения называется всякое число, при подстановке которого вместо неизвестного в обе части уравнения получается справедливое (верное) числовое равенство
Но что значит «получается справедливое числовое равенство»? Это означает, во-первых, что при подстановке этого числа вместо неизвестного все действия, обозначенныев левой и правой частях уравнения, оказываются выполнимыми и, во-вторых, в результате выполнения этих действий в левой и правой частях получается одно и то же число
Иначе говоря,
число а называется корнем уравнения, если, во-первых, это число принадлежит как области определения функции f(x), так и области определения функции g(x) и, во-вторых, значения этих функций в точке а совпадают
Итак, если сказано, что
равенство рассматривается как уравнение, то это означает, что мы интересуемся нахождением корней этого уравнения, т. е. тех значений х, которые обращают соотношение в верное числовое равенство
Если найдена некоторая совокупность значений х, каждое из которых является корнем уравнения f(x) = g(x), то это еще не значит, что мы решили уравнение
Решить уравнение — значит найти все его решения (или доказать, что уравнение не имеет решений)
Отметим, что бессмысленно ставить вопрос, «является ли равенство f(x)=g(x) тождеством или уравнением»
Одно и то же равенство f(x) = g(x) в различных условиях может рассматриваться и как тождество, и как уравнение
Если мы говорим, что «f(x)=g(x) есть тождество», то непременно надо указывать, на каком множестве это равенство является тождеством
Фраза «f(x) = g(x) есть тождество на множестве М» есть некоторое утверждение, некоторое высказывание
Если же мы говорим, что рассматриваем уравнение f(x) = g(x), то мы, по существу, имеем дело с вопросительным предложением: мы ставим вопрос, каковы корни этого уравнения, т. е. каковы те значения х, которые обращают соотношение f(x)=g(x) в верное числовое равенство
УРАВНЕНИЯ
Знак равенства используется в математике очень часто,
и смысл, который придается этому знаку, далеко не всегда
один и тот же. Так, часто мы соединяем знаком равенства
два числа.
Каждая такая запись представляет собой некоторое
высказывание, которое может быть истинным или ложным. Среди
приведенных выше четырех высказываний такого рода первые
три являются истинными, а четвертое — ложным.
Для того чтобы убедитьсяв истинности (или ложности)
такого высказывания, нередко бывает нужно произвести те
или иные действия: сложение дробей, разложение на
множители, возведение суммы двух чисел в квадрат и т. п.
Однако смысл знака равенства во всех этих случаях один и тот же: истинность такого высказывания означает, что слева и справа от знака равенства стоит одно и то же число (только, может быть, записанное по-разному)
Высказывания такого вида мы будем называть числовыми
равенствами.
Если некоторое числовое равенство представляет собой истинное высказывание, то для краткости говорят: «это — верное равенство»
Так, равенство — верное.
Если же некоторое числовое равенство представляет собой ложное высказывание, то для краткости говорят: «это — неверное равенство»
Так, — неверное равенство.
В ином смысле применяется знак =, когда идет речь
о равенстве функций.
Напомним, что
две функции f(x) и g(x) считаются равными (т. е. совпадающими), если, во-первых, области определения этих двух функций совпадают и, во-вторых, для любого числа х0, принадлежащего общей области определения этих функций, значения функций в точке х0 совпадают, т. е. верно числовое равенство f(x0) = g(x0)
Равенство функций f(x) и g(x) обычно выражают записью f(x) = g(x)
Выражая этой записью тот факт, что слева и справа от знака =
стоят равные функции (т. е. слева и справа стоит одна
и та же функция, только, может быть, записанная по-разному).
Запись f(x) = g(x) означает совпадение функций f(x) и g(x)
Иногда при рассмотрении тождеств приходится
ограничивать области определения функций. Именно, будем говорить,
что равенство f(x) = g(x) является тождеством на
множестве М, если, во-первых, множество М содержится в области
определения каждой из функций f(x), g(x) и, во-вторых, для
любого числа х0, принадлежащего множеству М, справедливо
числовое равенство f(xo) = g(xo).
Разумеется,
при написании тождеств вовсе не обязательно обозначать аргумент функций буквой х. Можно аргумент обозначить буквой z, буквой а или любым другим символом
Можно также рассматривать функции, зависящие от двух или большего числа аргументов, и писать тождества для таких функций. Конечно, и в этом случае надо указывать, при каких значениях аргументов написанное равенство является тождеством
Список рекомендуемой литературы:
1. ЕГЭ 2019. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов + 800 дополнительных заданий части 2. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН
2. ЕГЭ 2019. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов заданий. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН
3. ЛЕКЦИИ И ЗАДАЧИ ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ. - В.Г. Болтянский, Ю.В. Сидоров, М.И. Шабунин. Изд-во: Наука. 1974.
