Логарифм и его свойства. ЕГЭ. Логарифм произведения. Сумма логарифмов. Метод сравнения. Логарифмирование. Потенцирование. Монотонность логарифмической функции. Область определения функции. Математика. Решение логарифмических неравенств. Алгебраическое уравнение. Координатные углы. Биссектриса. Функция

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: ut2018@protonmail.com    
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии







Показательная и логарифмическая функции. ЕГЭ


Напомним, что


функция у = ф(х) является обратной по отношению к функции у = f(х), если областью определения функции у = ф(х) является область значений

функции у = f(x) и для любых а и b таких, что b = f(a), справедливо равенство а = ф(b).


Для того чтобы функция У = f(x) имела обратную (являлась обратимой), необходимо и достаточно, чтобы каждое свое значение она принимала ровно один раз.


В частности, достаточно, чтобы у = f(x) являлась строго монотонной функцией.


Если у = f(x) и у = ф(х) две взаимно обратные функции, то их графики симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.


Ясно, что, во-первых, и само понятие обратной функции симметрично (т. е. функция у = f(x) является обратной по отношению к функции у = ф(х), если у = ф(х) обратная к у = f(*)), во-вторых, не любая функция имеет обратную и, в-третьих, для пары взаимно обратных функций областью определения одной из них является область изменения другой и наоборот.


Формулируя свойства логарифма (часто словесно), мы обычно для краткости опускаем слова, указывающие на область применимости (например: «Логарифм произведения равен сумме логарифмов...»).


К сожалению, подобная неаккуратность иногда переносится и на задачу, что приводит к печальным последствиям (в частности, к потере корней при решении уравнений).


Вообще при решении любых задач, содержащих логарифмы по различным основаниям, следует запомнить одну рекомендацию, почти не имеющую исключений: необходимо перейти во всех логарифмах к одному основанию.


Сформулировав это «почти» общее правило, рассмотрим, однако, два примера, в которых осуществляется это «почти», т. е. переход к одному основанию в них ничего не дает.


Метод сравнения можно назвать методом «вставки» (между двумя сравниваемыми «плохими» числами вставляется «хорошее» число) или методом «разделения» (находится число, разделяющее два данных числа).


Иногда этот метод реализуют в иной форме: ищут такое натуральное число k, при умножении на которое сравниваемых чисел а и b получают такие числа что между ними находится хотя бы одно целое число.


Этот метод имеет весьма широкую область применения.


Показательные и логарифмические уравнения


Специфика решения уравнений рассматриваемого класса по сравнению с алгебраическими состоит в расширении методов и формул преобразований


в частности, добавляются две взаимно обратные операции — логарифмирование и потенцирование; в пополнении списка замен, целью которых, как правило, является сведение данного уравнения к алгебраическому;


При решении этого уравнения имеет место достаточно типичная ситуация: уже после первого шага — замены неизвестного — мы получаем алгебраическое уравнение и вновь возвращаемся к показательной функции уже в самом конце.


Решение показательных и логарифмических неравенств основано на монотонности показательной и логарифмической функций.


В общем случае, если функция у = f(x) монотонно возрастает, то из неравенства f(a) больше f(b) следует, что а больше b.


Подчеркнем: именно из первого следует второе, поскольку обратное утверждение: «Если а больше b, то f(a) больше f(b)» — может оказаться и неверным, так как а и b (вместе или порознь) могут не принадлежать области определения функции у = f(x).


Если же у = f(x) монотонно возрастает (или убывает) и определена при всех х, то неравенства f(a) больше f(b) и а больше b (a меньше b) оказываются эквивалентными.


По существу, это уравнение если и относится к категории показательных, то лишь по внешним, несущественным признакам.


Аналогичное преобразование — переход к одному основанию — можно осуществлять и для функций показательных.


При решении уравнений, содержащих логарифмические и тригонометрические функции, как правило, наиболее трудной задачей является отбор корней.


Если в неравенстве фигурирует логарифмическая функция, содержащая неизвестное в основании, то обычно рассматриваются два случая: основание больше 1 и основание меньше 1 (но больше нуля).


Обратите внимание, что в этом неравенстве правильный ответ можно получить, не рассматривая второй случай. Ясно, однако, что его отсутствие является грубой ошибкой.


Список рекомендуемой литературы:


1. ЕГЭ 2019. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов + 800 дополнительных заданий части 2. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


2. ЕГЭ 2019. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов заданий. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


3. Математика для поступающих в вузы : учеб. пособие / И. Ф. Шарыгин. — 6-е изд., стереотип. — М. : Дрофа, 2006. — 479с.