Логарифмические уравнения. ЕГЭ. Математика. Равносильные уравнения. Потеря корней. Посторонний корень. Корни уравнения. Уединение радикала. Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую. Метод замены неизвестного. Иррациональные уравнения. Радикал. Рациональная функция. Множество. Множество решений уравнения

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: ut2018@protonmail.com    
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии







Логарифмические уравнения. ЕГЭ


Может возникнуть потеря корней и появление посторонних корней при преобразовании уравнений


Равносильные уравнения. Уравнение, являющееся следствием данного.


В процессе решения уравнения мы обычно производим некоторые преобразования, т. е. последовательно заменяем данное уравнение другими уравнениями, все более простыми, пока наконец не получим уравнение, которое мы умеем решать


Трудно перечислить все виды преобразований, которые мы выполняем при решении уравнений: их очень много.


Еще труднее дать полный список рекомендаций, в каких случаях следует выполнять те или иные преобразования.


Но есть одно непреложное правило, которое никогда не следует забывать: нельзя выполнять преобразования, которые могут привести к потере корней


Ведь мы говорили уже, что


решить уравнение — значит найти все его корни, так что потеря корней в процессе решения недопустима


Есть и другая опасность, которая может подстерегать нас при решении уравнений, правда, опасность, значительно меньшая, чем потеря корней. Заключается она в том, что при некоторых преобразованиях могут появиться новые корни, т. е. может оказаться, что новое уравнение (к которому мы приходим в результате преобразования) имеет больше корней, чем первоначальное


Иными словами, в новом уравнении, кроме корней первоначального уравнения, могут появиться лишние, посторонние корни. С этим обстоятельством связана необходимость проверки корней


Именно,


если хоть один раз в процессе решения применялось преобразование, которое может принести к появлению посторонних корней, то после окончания процесса решения обязательно нужно проверить, какие из найденных корней удовлетворяют исходному уравнению, а какие ему не удовлетворяют, т. е. являются посторонними и, следовательно, должны быть отброшены


Проверку можно не производить только в том случае, если ни одно из примененных преобразований не приводит к появлению посторонних корней


Уточним смысл терминов «потеря корней», «посторонний корень».


Пусть f(x) = g(x)— заданное уравнение, а u(x) = p(x) — некоторое новое уравнение, которое мы хотим рассматривать вместо первоначального уравнения (например, уравнение, полученное в результате «преобразования»).


Мы говорим, что


при переходе от уравнения f(x) = g(x) к уравнению u(x) = p(x) происходит потеря корней, если существует число х0 (хотя бы одно), являющееся корнем уравнения f(x) = g(x) и не являющееся корнем уравнения u(x) = p(x)


Далее, число a называется посторонним корнем, получающимся при переходе от уравнения f(x) = g(x) к уравнению u(x) = p(x), если это число является корнем уравнения u(x) = p(x) и не является корнем первоначального уравнения f(x) = g(x)


Заметим, что при выполнении таких преобразований, как приведение в уравнении подобных членов, сокращение обеих частей уравнения на общий множитель, отбрасывание общего множителя числителя и знаменателя дроби, могуг быть потеряны корни или появятся посторонние корни


Определение. Два уравнения f(x)=g(x) и u(x) = p(x) называются равносильными (эквивалентными) на некотором множестве М, если они имеют в этом множестве одни и те же решения, т. е. каждый корень одного уравнения, принадлежащий множеству М, является корнем другого уравнения и, наоборот, каждый корень второго уравнения, принадлежащий множеству М, является корнем первого уравнения


Заметим, что если при решении некоторого уравнения мы заменяем его другим, равносильным уравнением, то, находя корни второго уравнения, мы тем самым найдем корни первоначального уравнения


Однако далеко не всегда удается заменить данное уравнение равносильным


Довольно часто, применяя к данному уравнению некоторое преобразование, мы получаем новое уравнение, корнями которого являются все корни данного уравнения и, быть может, некоторые другие числа, не являющиеся корнями данного уравнения


Иными словами, речь идет о преобразованиях, при которых не происходит потери корней; в таких случаях от посторонних корней можно избавиться с помощью проверки.


Определение. Пусть дано некоторое уравнение f(x)=g(x). Уравнение u(x)=p(x) называется следствием первого уравнения, если при

переходе от первого уравнения ко второму уравнению не происходит потери корней, т. е. если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения


Иногда вместо фразы «уравнение (1) является следствием уравнения (2)» используют выражение «уравнение (1) является выводным из уравнения (2)»


Из приведенного определения следует, что


уравнения равносильны в том и только в том случае, когда каждое из этих уравнений является следствием другого


Из определения вытекает также, что уравнение (1), являющееся следствием уравнения (2), может иметь более широкое множество решений, чем множество решений уравнения (2)


Наиболее важные приемы преобразования и методы решения уравнений


Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, т. е, переход от уравнения f(x) = p(x) + g(x)

к уравнению f(х)-p(х) = g(x)


Указанный переход всегда приводит к равносильному уравнению, каковы бы ни были функции f(x), p(х), g(x).


Итак, мы доказали, что


при переносе любого слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком получается равносильное уравнение


Мы видим, что


любое уравнение с одним неизвестным может быть заменено эквивалентным уравнением вида h(x) = 0, т. е. уравнением, в левой части которого стоит некоторая функция, а правая часть равна нулю


Указанное преобразование


перенос членов из одной части уравнения в другую применяется при решении уравнений чрезвычайно часто


Например,


при решении иррациональных уравнений применяется «уединение радикала», т. е. перенос всех членов, кроме одного, имеющего вид радикала, в другую часть уравнения


Подчеркнем, что в этом пункте шла речь только о перенесении членов из одной части уравнения в другую без последующего приведения подобных членов (если таковые имеются).


Приведение подобных членов является новым преобразованием, которое может вызвать появление посторонних корней


Мы рассмотрели лишь некоторые преобразования уравнений. Разумеется, этими преобразованиями не исчерпываютсявсе те разнообразные преобразования, которые приходится применять при решении уравнений. В частности, мы пока не рассматривали преобразования, связанные со свойствами логарифмической и показательной функций. Но об этом будет сказано ниже (см. § 5). Мы закончим этот параграф рассмотрением одного важного метода решения уравнений.


Метод замены неизвестного


Метод замены неизвестного применяется при решении уравнений вида f(g(x)) = 0


Задача заключается в том, чтобы умело подобрать функцию g(x), позволяющую ввести новое неизвестное t = g(x), и затем выразить функцию F(х) через t, т. е. представить ее в виде F(x)=f(g(x))


Такой прием решения уравнений и называется методом замены неизвестного (поскольку вначале решается уравнение, в котором неизвестное х заменено новым, вспомогательным неизвестным t).


Простейшие иррациональные уравнения


Методы решения иррациональных уравнений, как правило, основаны на возможности замены (с помощью некоторых преобразований) иррационального уравнения рациональным уравнением, которое либо эквивалентно исходному иррациональному уравнению, либо является его следствием


Чаще всего обе части уравнения возводят в одну и ту же степень. При этом получается уравнение, являющееся следствием исходного


При решении иррациональных уравнений необходимо учитывать следующее:


1) если показатель радикала — четное число, то подкоренное выражение должно быть неотрицательно; при этом значение радикала также является неотрицательным


2) если показатель радикала — нечетное число, то подкоренное выражение может быть любым действительным числом; в этом случае знак радикала совпадает со знаком подкоренного выражения


При возведении уравнений в квадрат учащиеся нередко в уравнениях производят перемножение подкоренных выражений


Можно было сначала перенести один из радикалов в правую часть уравнения


Тогда в левой части уравнения останется один радикал и после возведения обеих частей уравнения в квадрат в левой части уравнения получится рациональная функция


Такой прием


уединение радикала довольно часто применяется при решении иррациональных уравнений


Заметим, что если бы мы сразу, не уединив один из радикалов, возводили обе части исходного уравнения в квадрат, то нам пришлось бы выполнять громоздкие преобразования


При решении иррациональных уравнений, кроме метода уединения радикала, применяются, с учетом вида уравнения, и другие методы


Список рекомендуемой литературы:


1. ЕГЭ 2019. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов + 800 дополнительных заданий части 2. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


2. ЕГЭ 2019. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов заданий. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


3. ЛЕКЦИИ И ЗАДАЧИ ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ. - В.Г. Болтянский, Ю.В. Сидоров, М.И. Шабунин. Изд-во: Наука. 1974.