Линейные неравенства. ЕГЭ. Экзамен. Математика. Метод интервалов. Приобретение лишних решений. Потеря решений. Неравенства, содержащие абсолютные величины. Решение неравенств. Знак модуля. Числовая прямая. Методы решения неравенств. Функция. Множество точек. Лучи. Отрезки. Граничные точки множества. Интервалы

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: ut2018@protonmail.com    
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии







Неравенства. ЕГЭ


В отличие от уравнений в неравенствах невозможна проверка (в обычном смысле) найденных решений.


Вследствие этого схема решения, часто применявшаяся при решении уравнений, заключающаяся в получении последовательности уравнений-следствий с последующим отбором корней, при решении неравенств не работает.


Тем не менее многие приемы и методы решения неравенств совпадают с приемами и методами решения уравнений (преобразование, разложение на множители, замена неизвестного).


Более того, исходя из идей метода интервалов, решение любого неравенства (во всяком случае, тех, которые встречаются в школьной практике и на конкурсном экзамене) можно свести к решению одного или нескольких уравнений.


В общем случае метод интервалов основывается на следующем простом рассуждении.


Пусть задана функция f(x), тогда числовую прямую можно разбить на четыре множества. А — множество точек, для которых f(x) больше 0; В — множество точек, для которых f(x) = 0; С — множество точек, для которых f(x) меньше 0; D — множество точек, для которых f(x) не определена.


Как правило, каждое из множеств представляет собой объединение точек, лучей и отрезков (с концами или без). Большей частью множество В состоит из отдельных точек.


Решение неравенств вида f(x) больше 0, f(x) больше 0, f(x) меньше 0, f(x) меньше 0 можно разбить на следующие этапы.


Сначала находим граничные точки множеств А, В, С и Z), для чего решаем соответствующие уравнения (в большинстве случаев множество В состоит из точек, являющихся граничными для А и С).


Найденные точки разбивают прямую на лучи и интервалы. Теперь для каждого луча или интервала определяем, к какому из четырех множеств относятся принадлежащие ему точки.


Удобно при решении неравенства методом интервалов, находя точки, в которых меняет знак какой-либо множитель, отмечать эти точки черточкой.


Тогда, если в какой-то точке меняет знак нечетное число множителей (стоит нечетное число черточек), знак всего выражения меняется; если же знак меняет четное число множителей (стоит четное число черточек), знак сохраняется.


Преобразование неравенств


Многие виды преобразований, которыми мы пользуемся при решении уравнений, так как они или приводят к эквивалентному уравнению, или, в крайнем случае, к уравнению-следствию, оказываются запрещенными при решении неравенств.


При решении неравенств, содержащих квадратные радикалы, необходимо твердо запомнить, что возводить их в квадрат, сохраняя знак неравенства, можно лишь при условии неотрицательности обеих частей.


Возможна, правда, более редкая ситуация, когда обе части неположительны. В этом случае знак неравенства меняется на противоположный.


В других случаях возможно как приобретение лишних решений, так и потеря решений.


Ясно, что если при одном знаке неравенства между левой и правой частями решения добавляются, то при противоположном теряются.


Неравенства, содержащие абсолютные величины


Обычный путь решения неравенств, содержащих абсолютные величины, состоит в том, что числовая прямая разбивается на участки, на каждом из которых на основании определения абсолютной величины знак модуля можно снять.


Объединение неравенств означает, что должно выполняться хотя бы одно из неравенств. Соответствует союзу «или». В случае строгих неравенств все неравенства соответственно заменяются на строгие.


При помощи этого приема мы во многих случаях можем последовательно избавляться от знака абсолютной величины, уединяя выражения под этим знаком.


Список рекомендуемой литературы:


1. ЕГЭ 2019. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов + 800 дополнительных заданий части 2. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


2. ЕГЭ 2019. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов заданий. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


3. Математика для поступающих в вузы : учеб. пособие / И. Ф. Шарыгин. — 6-е изд., стереотип. — М. : Дрофа, 2006. — 479с.