Системы линейных неравенств. ЕГЭ. Математика. Равносильность неравенств. ОДЗ неравенства. Множество всех решений неравенства. ОДЗ. Решение неравенства. Область существования функции. Равносильное преобразование. Область допустимых значений. Решение системы неравенств. Область. Множество. Решение задач

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: ut2018@protonmail.com    
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии







Системы неравенств. ЕГЭ


Пусть дано m неравенств. Обозначим через Q область, являющуюся пересечением областей допустимых значений всех этих неравенств.


Если нужно найти все числа а из области Q, каждое из которых является решением каждого из этих неравенств, то говорят, что дана система m неравенств


Область Q называют областью допустимых значений (ОДЗ) этой системы


Число а из ОДЗ системы неравенств называется решением этой системы, если оно является решением каждого из неравенств системы


Решить систему неравенств - это значит найти множество всех ее решений. Если это множество окажется пустым, то говорят, что система неравенств не имеет решений


Систему неравенств обычно решают следующим образом: сначала решают каждое неравенство на ОДЗ этой системы, т.е. находят множества решений каждого из этих неравенств на ОДЗ системы, затем находят множество, являющееся пересечением всех этих множеств. Это множество и будет множеством всех решений системы неравенств


Две системы неравенств называются равносильными, если множества их решений совпадают


Заметим, что замена в системе одного из неравенств равносильным неравенством приводит к системе, равносильной исходной


Совокупность неравенств и систем неравенств


Пусть дано к систем неравенств


Обозначим через Q область, являющуюся пересечением областей допустимых значений всех этих систем.


Если нужно найти все числа а из области Q, каждое из которых является решением хотя бы одной из этих систем, то говорят, что дана совокупность к систем неравенств и область Q называют областью допустимых значений (ОДЗ) совокупности систем неравенств.


Число а из ОДЗ совокупности систем неравенств называют решением этой совокупности, если оно является решением хотя бы одной системы неравенств из совокупности


Решить совокупность систем неравенств это значит найти множество всех ее решений; если это множество оказывается пустым множеством, то говорят, что совокупность систем неравенств не имеет решений


Отметим, что если каждая из к систем состоит только из одного неравенства, то говорят, что дана совокупность к неравенств.


Говорят, что неравенство f(x) больше g(x) равносильно совокупности систем неравенств, если множество решений неравенства f(x) больше g(x) совпадает с множеством решений совокупности систем неравенств


Основные определения. Простейшие неравенства


Замена неравенства f(x) больше g(x) равносильной ему совокупностью систем неравенств называется равносильным переходом от неравенства к совокупности систем неравенств


Иногда приходится совершать переход от неравенства к совокупности систем неравенств на каком-то множестве М.


Говорят, что


неравенство f(x) больше g(x) равносильно на множестве М совокупности систем, если любое решение неравенства f(x) больше g(x) принадлежащее множеству М, является решением совокупности, а любое решение совокупности, принадлежащее множеству М, является решением неравенства f(x) больше g(x)


Преобразования, связанные с применением тождественных равенств.


Решение неравенств с применением тождественных равенств основано на утверждении о равносильности неравенств.


Это утверждение позволяет использовать различные формулы, справедливые при всех действительных значениях x, например формулы сокращенного умножения, основное тригонометрическое тождество, формулы степеней и т.д.


НЕРАВЕНСТВА


В дальнейшем часто мы будем формулировать утверждения для строгих неравенств, имея в виду, что случай нестрогих неравенств может быть сведен к этому случаю.


Как уже отмечено, при решении уравнений в основном используются два метода. Первый из них основан на выполнении равносильных преобразований (вообще говоря, на некотором множестве).


Второй же использует переход к уравнениям, являющимся следствиями исходного, и обязательную проверку, т.е. отбор среди найденных чисел искомых корней с помощью подстановки этих чисел в исходное уравнение.


При решении неравенств второй способ, как правило, не используется. Ведь множество решений неравенства чаще всего есть бесконечное множество, и в связи с этим проверка решений бывает затруднительной.

Основной метод решения неравенств есть его упрощение с помощью преобразований, равносильных, вообще говоря, на некотором множестве М


В результате исходное неравенство оказывается равносильным на М совокупности систем простейших неравенств, каждая из которых может быть решена непосредственно.


Рассмотрены преобразования, равносильные для всех действительных х; преобразования, равносильные на некотором множестве М;


решение неравенств, предлагавшихся на экзаменах ЕГЭ.


Область допустимых значений и множество решений неравенства. Областью допустимых значений (ОДЗ) неравенства f(x)больше g(x) называется общая часть (пересечение) областей существования функций у = f(x) и у = g(x), т.е. множество всех числовых значений неизвестного х, при каждом из которых имеют смысл (т.е. определены) левая и правая части неравенства. Любое число х из ОДЗ неравенства называется допустимым значением для данного неравенства.


Число а из ОДЗ неравенства называется решением неравенства, если при подстановке его вместо неизвестного в неравенство оно превращается в верное числовое неравенство


Решить неравенство - это значит найти множество всех его решений



Если множество всех решений неравенства есть пустое множество, то говорят, что данное неравенство не имеет решений


Нахождение ОДЗ неравенства позволяет в некоторых случаях доказать, что неравенство не имеет решений, и часто позволяет упрощать процесс решения неравенства


Равносильность неравенств


Пусть даны два неравенства.


Если любое решение первого неравенства является решением второго неравенства, а любое решение второго неравенства является решением первого неравенства, то такие два неравенства называются равносильными


иными словами,

если множества решений двух неравенств совпадают, то эти неравенства называются равносильными


Подразумевается, что если каждое из неравенств не имеет решений, то такие два неравенства равносильны.


Замена одного неравенства другим неравенством, ему равносильным, называется равносильным переходом от одного неравенства к другому


Пусть даны два неравенства и некоторое множество М.


Если любое решение первого неравенства, принадлежащее множеству М, является решением второго неравенства, а любое решение второго неравенства, принадлежащее множеству М, является решением первого неравенства, то такие два неравенства называются равносильными на множестве М


Отметим, что


если каждое из двух неравенств не имеет решений на множестве М, то такие неравенства также называются равносильными на множестве М


Замена одного неравенства другим неравенством, равносильным ему на некотором множестве М, называется равносильным переходом на множестве М



Список рекомендуемой литературы:


1. ЕГЭ 2019. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов + 800 дополнительных заданий части 2. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


2. ЕГЭ 2019. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов заданий. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


3. Конкурсные задачи по математике: Справ, пособие. Потапов М. К., Олехник С. Н., Нестеренко Ю. В. — Изд. 3-е, стер. — М.: ФИЗМАТЛИТ,

2003. — 416 с.