Дробно-рациональные неравенства. ЕГЭ. Свойства функций. Положительные числа. Доказательство неравенств. Группировка. Преобразования. Равносильное неравенство. Утверждение. Метод математической индукции. Положительная степень. Обе части неравенства. Решение задач. Способ группировки. Доказательство

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: ut2018@protonmail.com    
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии







Дробно-рациональные неравенства. ЕГЭ


Сумма двух взаимно обратных положительных чисел не меньше двух, причем она равна двум только в случае, когда оба числа равны единице.


Типичная ошибка, которую делают довольно часто при доказательстве неравенств, состоит в следующем.


Поступающий пишет неравенство, подлежащее доказательству, затем проводит некоторые преобразования и приходит в конце концов к очевидно справедливому неравенству (например, 1 < 2 ), после чего делает вывод: «следовательно, неравенство доказано».


Это — грубая логическая ошибка:


из того, что получено верное неравенство, совсем не следует, что исходное неравенство верно!


Точнее, мы доказали следующее: если допустить, что предложенное для доказательства неравенство верно, то и неравенство, полученное в результате преобразований, также верно.


Но ведь справедливость этого неравенства очевидна и без проведенных преобразований, а про неравенство, которое следовало доказать, мы так ничего и не узнали.


Логически правильно проводить рассуждения в обратном порядке.


Необходимо взять некоторое очевидно справедливое неравенство и провести над ним такие преобразования, которые приведут к тому неравенству, которое следовало доказать


Это рассуждение уже полноценно: мы исходили из справедливого неравенства и рядом законных преобразований пришли к новому неравенству, которое поэтому также справедливо.


Конечно, остался самый главный вопрос: из какого же неравенства надо исходить и как его преобразовывать, чтобы прийти к требуемому неравенству?


Для ответа на него можно провести то преобразование предложенного неравенства, которое приводит нас к очевидно справедливому неравенству


Только этот этап решения задачи надо рассматривать не как доказательство, а как поиск доказательства, как попытку нащупать правильный путь


Если в результате этого поиска, т. е. таких преобразований, нам удалось прийти к очевидно справедливому неравенству, то можно начинать настоящее доказательство:


взять это очевидно справедливое неравенство и провести над ним все те же преобразования, что и во время поиска, но только в обратном порядке, так сказать, «обратить» ход выкладок


Если этот обратный ход выкладок будет все время законен, то доказываемое неравенство действительно справедливо


Часто, впрочем, поступают несколько иначе.


Если в процессе поиска доказательства, в процессе приведения данного неравенства к очевидному мы каждый раз заменяли неравенство на равносильное, то последнее неравенство равносильно исходному, а потому из его справедливости сразу следует справедливость исходного неравенства


Следовательно, если на каждом этапе преобразования мы специально проверяли и подчеркивали равносильность соответствующих неравенств, то «обратный ход» выкладок совершенно не нужен


Но, как известно, группировка является самым загадочным моментом при преобразованиях, так как нужный способ группировки часто можно найти лишь случайно, ощупью, после многих неудачных попыток



Единственное, что может здесь помочь — это опыт в решении такого рода задач.


При доказательстве некоторых неравенств нужно умело использовать свойства функций, входящих в состав неравенства


Доказанное утверждение обычно формулируют следующим образом: обе части неравенства между положительными числами можно возвести в любую положительную степень, в частности, из обеих частей можно извлечь корень любой степени.


Метод математической индукции с успехом применяется для доказательства различных неравенств. В то же время силу метода индукции не следует преувеличивать: есть очень много задач, для решения которых просто напрашивается метод индукции, однако попытки применить этот метод наталкиваются на непреодолимые трудности.



Список рекомендуемой литературы:


1. ЕГЭ 2019. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов + 800 дополнительных заданий части 2. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


2. ЕГЭ 2019. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов заданий. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


3. Г.В.Дорофеев, М.К.Потапов, Н.Х.Розов ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗЫ (избранные вопросы элементарной математики). - М:Наука, 1975