Квадратные неравенства. ЕГЭ. Свойства квадратного трехчлена. Теорема Виета. Решение задач. Корень квадратного трехчлена. График. Математика. Линейная функция. Решение квадратных уравнений. Решение квадратных неравенств. Условие существования корней. Квадратный трехчлен. Старший коэффициент. Вершина параболы

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: ut2018@protonmail.com    
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии







Квадратные неравенства. ЕГЭ


Квадратный трехчлен с полным правом можно назвать главной функцией всей школьной математики. Если не считать уж совсем простой линейной функции, то это, пожалуй, единственная функция, для которой в школьном курсе строго доказываются все свойства, нужные в теории и для решения задач.


Безукоризненное знание необходимых свойств квадратного трехчлена требуется от каждого поступающего.


Такое особое положение квадратного трехчлена, естественно, отражается и на вступительных экзаменах — и на письменных, и на устных, где


число задач, решаемых с помощью свойств квадратного трехчлена, очень велико, а сами эти задачи чрезвычайно разнообразны.


При этом наряду с задачами, решение которых получается сразу из известных теорем (такими, как решение квадратных уравнений и неравенств, нахождение условия существования корней, определение знаков корней, отыскание наибольшего и наименьшего значения квадратного трехчлена),


встречаются (и не менее часто) задачи, где непосредственного применения простейших теорем оказывается недостаточно.


Не имея возможности описать полностью все встречающиеся типы задач на квадратный трехчлен, мы останавливаемся здесь только на задачах, в которых в том или ином виде идет речь о расположении корней.


Среди стандартных школьных задач, перечисленных выше, есть одна задача такого типа: в самом деле, определить чнаки корней — это и значит выяснить расположение корней относительно точки 0.


Как известно, эта задача решается с помощью теоремы Виета.


А как быть, если требуется выяснить расположение корней относительно какой-нибудь другой точки? Неужели точка 0 настолько «лучше» других точек, что для нее задача решается сразу, а для других точек это уже проблема?


Разумеется, нет.


Единственное, чем точка 0 отличается в этом смысле от других точек, это то, что для нее уже есть «готовая» теорема Виета, а для всех остальных аналогичную теорему для решения задачи надо еще придумать.


Но здесь мы попадаем в сложное положение: если придумать теоремы, с помощью которых все задачи на расположение корней решались бы так же просто, как определение знаков корней, то число этих теорем было бы столь велико, что их просто невозможно было бы запомнить.


В самом деле, вполне естественно (и это действительно встречается в задачах) интересоваться расположением корней в некотором заданном интервале с < х < d или в бесконечном интервале х < с, или в бесконечном интервале х > d.


Относительно каждого из этих интервалов можно поставить, например, такие вопросы: при каком условии на нем лежат оба корня, или нет ни одного корня, или есть ровно один корень, или есть по крайней мере один корень. Из названных вопросов мы уже можем составить 12 различных задач.


А если наряду с указанными интервалами рассматривать еще интервалы с включенными концами? И еще учесть, что свойства квадратного трехчлена существенно зависят от знака его старшего коэффициента?


Совершенно ясно, что количество требуемых теорем практически необозримо. Поэтому путь запоминания теорем здесь не годится.


И остается только одно — научиться придумывать теорему каждый раз, в каждой конкретной задаче, ну и, конечно, постараться запомнить наиболее важные.


Для придумывания этих теорем нужно не только знание свойств квадратного трехчлена, нужно действительно свободное владение ими и прежде всего умение мыслить одновременно на двух языках — алгебраическом и геометрическом.


Это означает, что


для любого свойства, сформулированного словесно или на алгебраическом языке, нужно уметь давать геометрическую интерпретацию на графике.


И наоборот, любое свойство графика надо уметь описать словами и формальными алгебраическими условиями.


Например, старший коэффициент меньше нуля — значит, ветви параболы направлены вниз; трехчлен не имеет действительных корней — значит, парабола не пересекает и не касается оси абсцисс;


график трехчлена находится выше оси абсцисс —- значит, а>0 Последнее геометрическое утверждение можно высказать, по крайней мере, еще тремя различными способами: трехчлен не имеет действительных корней и его старший коэффициент положителен.


Решение многих задач — это по существу пополнение приведенного «словаря перевода» с алгебраического языка на геометрический и - обратно.


При каких условиях оба корня квадратного трехчлена f(x) больше некоторого заданного числа d?


Чтобы сформулировать нужные условия, представим себе график трехчлена f(x), оба корня которого больше числа d.


Совершенно очевидны следующие свойства графика, изображенного на рисунке.


Для того, чтобы отделить «наши» трехчлены от «посторонних» такого типа, достаточно, очевидно, потребовать, чтобы вершина параболы (точнее, ее абсцисса) лежала правее точки d. Тем самым мы нашли требуемые условия;


Безусловно, все предыдущее рассуждение совершенно нестрого, и его можно рассматривать лишь как «черновое» решение, как поиск ответа, и нужно провести еще строгое доказательство.


Оно достаточно просто.


При каких условиях корни квадратного трехчлена f(x) лежат по разные стороны от числа d?


Ответ на этот вопрос дается немедленно, если его переформулировать так: при каких условиях число d лежит между корнями данного трехчлена?


А это утверждение, как -звестно, равносильно неравенству f(d) <0. (Напомним, что старший коэффициент считается положительным!


При каких условиях ровно один корень квадратного трехчлена f(x), имеющего различные корни, лежит на интервале d < x < е?


Здесь ответ тоже достаточно очевиден: это верно в том и только в том случае, когда в точках d и e трехчлен имеет значения разных знаков.


При этом, если f(d)<0, f(е)>0, то в рассматриваемом интервале лежит, очевидно, больший корень, а если f(d)>0, f(е)<0, то — меньший корень.


Если же для решения задачи эти два случая различать не нужно, то требуемое условие можно записать в более компактной форме:f(d)f(e)<0.


В решении этой задачи существенно, что квадратный трехчлен имеет два различных корня. Если же трехчлен имеет только один корень, или, как иногда говорят, два равных корня, то условие того, что этот корень лежит на интервале d < х < е, выглядит по-другому. Оказывается, что этот случай наиболее удобно рассматривать как «частный случай» более общей задачи.


При каких условиях два (не обязательно различных) корня квадратного трехчлена f(x) лежат на интервале d < х < e?


Решение проводится такими же рассуждениями.


Во-первых, трехчлен, обладающий требуемыми свойствами, должен иметь действительные корни; во-вторых, должны быть положительны значения трехчлена в точках d и е; в-третьих, вершина параболы должна лежать между точками d и е.


Из приведенных примеров уже достаточно ясен общий подход к задачам рассматриваемого типа.


В большинстве задач, однако, далеко не всегда вопрос ставится так прямо, как в разобранных теоретических примерах, и для того чтобы прийти к нужной постановке, задачу часто приходится переформулировать.



Список рекомендуемой литературы:


1. ЕГЭ 2019. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов + 800 дополнительных заданий части 2. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


2. ЕГЭ 2019. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов заданий. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


3. Г.В.Дорофеев, М.К.Потапов, Н.Х.Розов ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗЫ (избранные вопросы элементарной математики). - М:Наука, 1975