Неравенства с абсолютными величинами. ЕГЭ. Неравенства с модулем. Функциональные неравенства. Понятие равносильности неравенств. Решение неравенства. Рациональные неравенства. Метод интервалов. Рациональные функции. Критические точки. Иррациональные неравенства. Радикал. Переменная под знаком корня

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: ut2018@protonmail.com    
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии







Неравенства с модулем. ЕГЭ


В школьном курсе математики часто встречаются неравенства, содержащие переменную под знаком абсолютной величины (под знаком модуля).


Для решения таких неравенств рекомендуется разбить числовую ось на отдельные промежутки так, чтобы на каждом из них можно было записать неравенство, не используя знака абсолютной величины.


Неравенства с параметрами


Решение неравенств с одним или несколькими параметрами представляет собой, как правило, задачу более сложную по сравнению с задачей, в которой параметры отсутствуют.


Таким образом, решить неравенство, содержащее параметры, это значит определить, при каких значениях параметров неравенство имеет решения и для всех таких значений параметров найти все решения.


Подчеркнем еще раз: неравенство с параметрами должно быть рассмотрено при всех значениях параметров.


Если хотя бы одно значение какого-либо параметра не исследовано, решение задачи не может быть признано полным.


Помимо задач рассмотренного типа, в которых требуется решить неравенство при всех значениях параметра, встречаются задачи, где нужно из всех значений параметра выделить те, при которых неравенство будет обладать некоторыми задаваемыми свойствами; например, будет удовлетворяться при любом значении переменной, или вообще не будет иметь решений, или будет иметь только одно положительное решение и т. д.


Доказательство неравенств


Ранее рассматривались задачи, в которых нужно было решить неравенство, т. е. найти множество его решений.


Часто встречается другая постановка задач, связанных с неравенствами.


Помимо неравенства задается некоторое множество значений переменной и требуется доказать, что все его элементы принадлежат множеству решений данного неравенства. Такие задачи принято называть задачами на доказательство неравенств.


Если в задаче на доказательство неравенства множество значений переменной не оговаривается — это означает, что справедливость неравенства требуется установить для всех действительных значений переменной.


Для решения подобных задач используются самые разнообразные приемы и методы. В тех случаях, когда переменная или параметр, входящие в неравенство, принадлежат множеству натуральных чисел, часто с успехом может быть применен метод математической индукции.


Рассмотрим некоторые другие способы доказательства неравенств.


Иногда неравенство удается доказать путем сведения его с помощью равносильных преобразований к очевидному неравенству.


Рассмотрим еще один распространенный способ доказательства неравенств. Он заключается в использовании некоторых известных неравенств.


Приложение неравенств к задачам на наибольшие и наименьшие значения.


Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений функций чрезвычайно важны для математики, физики и для других наук.


В математике разработан мощный аппарат (дифференциальное исчисление) для решения подобных задач. Применение дифференциального исчисления для нахождения нгибольшнх и наименьших значений функций рассмотрены.


Тем не менее, иногда такого типа задачи элементарными средствами удается решить быстрее, проще и изящнее. Неравенства, оказываются здесь очень полезными.


АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА. Функциональные неравенства.


Понятие равносильности неравенств


Рассмотрим две функции f(x) и g(x), определенные на некотором множестве X. Часто бывает необходимо узнать, при каких значениях х значения первой функции меньше соответствующих значений второй.


Такого типа задачи принято называть задачами на решение неравенств.


Таким образом, решить неравенство — это значит найти все значения х, при подстановке которых в неравенство получается верное числовое неравенство. Каждое такое значение х называется решением неравенства.


Совокупность всех решений называется множеством решений.


Решить неравенство — значит найти его множество решений.


При решении неравенств, так же как и при доказательстве неравенств, фундаментальное значение имеет понятие равносильности неравенств.


Два неравенства называют равносильными на множестве М, если каждое решение первого неравенства, принадлежащее множеству М, является решением второго неравенства и, наоборот, каждое решение второго неравенства, принадлежащее множеству М, является решением первого неравенства.


Равносильными на множестве М считают также неразенства, которые на этом множестве не имеют ни одного решения


В некоторых случаях удается, последовательно преобразуя данное неравенство, свести его к более простому неравенству, равносильному исходному.


Заметим, что для доказательства неравносильности двух неравенств на некотором множестве достаточно указать один элемент этого множества, являющийся решением одного неравенства, но не удовлетворяющий другому неравенству.


Рациональные неравенства. Метод интервалов


Рациональным неравенством называется неравенство, которое содержит только рациональные функции.


Рациональные неравенства часто удается решить так называемым методом интервалов.


Этот метод основан на одном важном свойстве рациональной функции, которое мы примем без доказательства, а именно:


в интервале между двумя своими соседними критическими точками рациональная функция сохраняет знак.


Затем находят все критические точки рациональной функции.


Эти точки отмечают на числовой оси.


Вся числовая ось разбивается критическими точками на конечное число интервалов, на каждом из которых левая часть неравенства сохраняет знак.


Чтобы определить знак левой части на всем интервале, достаточно определить знак в одной какой-либо точке этого интервала и тем самым установить, входит ли этот интервал в множество решении данного неравенства.


Что касается самих критических точек, то в случае строгого неравенства они, очевидно, не входят в множество решений


Не следует думать, что методом интервалов можно решить любое рациональное неравенство. Метод интервалов применим только тогда, когда известны (или могут быть найдены) нули многочленов. К сожалению, задача отыскания нулей многочлена далеко не всегда может быть решена.


Иррациональные неравенства


Перейдем к рассмотрению неравенств, содержащих переменную под знаком корня (радикала).


Обычный способ решения таких неравенств заключается в сведении их к рациональным неравенствам.


Освободиться от радикалов иногда удается путем возведения обеих частей неравенства в степень. К сожалению, эта операция часто приводит к неравенству, неравносильному исходному.


Поэтому при решении иррациональных неравенств рекомендуется проявлять максимальную осторожность.


Прежде всего следует ограничиться рассмотрением только тех значений переменной, при которых обе части неравенства имеют смысл.


Список рекомендуемой литературы:


1. ЕГЭ 2019. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов + 800 дополнительных заданий части 2. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


2. ЕГЭ 2019. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов заданий. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


3. ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗЫ. Под редакцией Г. Н. Яковлева - М: Наука, 1982