Показательные и логарифмические неравенства. ЕГЭ. Математика. Абсолютная величина. Среднее арифметическое. Среднее геометрическое. Монотонность функции. Обратная функция. Свойства неравенств. Правило вычитания неравенств. Двойное неравенство. Действительные числа. Строгие неравенства. Нестрогие неравенства

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: ut2018@protonmail.com    
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии







Показательные и логарифмические неравенства. ЕГЭ


Все действительные числа разбиваются на положительные числа, отрицательные числа и число нуль


Для того чтобы указать, что число а положительно, пользуются записью а больше 0


Напомним, что


сумма и произведение положительных чисел также являются положительными числами


Далее,


если число а отрицательно, то число —а положительно (и наоборот)


Наконец,


для любого положительного числа а найдется такое положительное рациональное число t, что t меньше а


По определению неравенство а больше b (или, что то же самое, b меньше a) имеет место в том и только в том случае, если а — b больше 0, т. е. если число а—b положительно


Рассмотрим, в частности, неравенство а меньше 0. Что означает это неравенство? Согласно приведенному выше определению оно означает, что 0—а больше 0, т. е. —а больше 0 или, иначе, что число —а положительно. Но это имеет место в том и только в том случае, если число а отрицательно


Итак,


неравенство а меньше 0 означает, что число а отрицательно


Неравенства вида а больше b, a меньше b будем называть строгими


Неравенства а больше b и c больше d (или a меньше b и с меньше d будем называть неравенствами одинакового смысла


неравенства a меньше b и c больше d будем называть неравенствами противоположного смысла


Отметим, что эти два термина (неравенства одинакового и противоположного смысла) относятся лишь к форме записи неравенств, а не к самим фактам, выражаемым этими неравенстами.


Двойное неравенство можно записать так: (а меньше с меньше b)


Перейдем теперь к изложению основных свойств и правил действий над неравенствами.


Основные свойства неравенств


Если а больше b, то при любом с имеет место неравенство а+с больше b+с


Если а+b больше с, то a больше с—b, m е. любое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив знак этого слагаемого на противоположный


Если а больше b и c больше d, то a+c больше b+d, т. е. при сложении двух неравенств одного и того же смысла получается неравенство того же смысла


правило вычитания неравенств: если a больше b, c больше d, то а — d больше b — с (для доказательства достаточно к обеим частям неравенства а+c больше b+d прибавить число —c—d)


Если а больше b, то при с больше 0 имеем ас больше bc, а при с меньше О имеем ас меньше bc


Иначе говоря,


при умножении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства сохраняется (т. е. получается неравенство того же смысла), а при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (т. е. получается неравенство противоположного смысла)


Если а больше b больше О и с больше d больше 0, то ac больше bd, т. е. если все члены двух неравенств одинакового смысла положительны, то при почленном умножении этих неравенств получается неравенство того же смысла


Мы доказали выше несколько свойств неравенств, записанных с помощью знака больше.


Однако все эти свойства можно было бы формулировать с помощью знака меньше (меньше), так как неравенство b меньше а означает, по определению, то же самое, что и неравенство а больше b.


Кроме того, как это нетрудно проверить, доказанные выше свойства сохраняются и для нестрогих неравенств.


Разумеется, сказанным выше не ограничиваются общие свойства неравенств. Существует еще целый ряд неравенств общего вида, связанных с рассмотрением степенной, показательной, логарифмической и тригонометрических функций.


Общий подход для написания такого рода неравенств заключается в следующем.


Если некоторая функция y=f(x) монотонно возрастает на отрезке [а, b], то при u больше p (где u и p принадлежат этому отрезку) мы имеем f(u) больше f(p)


Аналогично,


если функция y=f(x) монотонно убивает на отрезке [а, b], то при u больше p (где u и p принадлежат этому отрезку) мы имеем f(u) меньше f(p)


Разумеется, сказанное не отличается от определения монотонности, но для запоминания и написания неравенств этот прием очень удобен.


Наконец, заметим, что


если некоторая функция является возрастающей, то и обратная ей функция является возрастающей


Еще раз подчеркнем, что рассуждения о монотонности функций, с помощью которых мы написали здесь свойства, не являются доказательствами этих свойств.


среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического


абсолютная величина суммы двух действительных чисел не превосходит суммы абсолютных величин этих чисел


Заметим, что


общего метода доказательства неравенств не существует


Иногда нужный результат можно получить, исходя из определения, т. е. из рассмотрения разности между левой и правой частями неравенства;


иногда полезным оказывается использование некоторого известного неравенства или оценка левой и правой частей неравенства


Отметим одну довольно распространенную ошибку, которую допускают учащиеся (и поступающие в вузы) при решении задач на доказательство неравенств. Учащийся пишет неравенство, которое нужно доказать, затем производит ряд преобразований и в конце концов приходит к известному неравенству (скажем, —1 меньше 0); после всего этого учащийся делает вывод: «Требуемое неравенство доказано».


Это — грубая логическая ошибка. Вот как, например, «доказывают» некоторые учащиеся справедливость для неотрицательных чисел а и b неравенства.


Значит,


проведя сведение доказываемого неравенства к некоторому известному неравенству, нужно затем обязательно проверить, проходят ли все рассуждения в обратном порядке


Впрочем,


если при выполнении каждого преобразования мы каждый раз убеждались, что вновь полученное неравенство эквивалентно предыдущему, т. е. выполняется тогда и только тогда, когда выполняется предыдущее, то проводить рассуждения в обратном порядке не нужно


Итак, если неравенство, которое нужно доказать, мы заменяем последовательно другими неравенствами, то либо на каждом шаге нужно проверять, что получаемое неравенство эквивалентно предыдущему (т.е. имеет место в том и только в том случае, когда справедливо предыдущее неравенство), либо же, если это не сделано, нужно обязательно проверить, проходят ли все рассуждения в обратном порядке



Список рекомендуемой литературы:


1. ЕГЭ 2019. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов + 800 дополнительных заданий части 2. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


2. ЕГЭ 2019. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов заданий. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


3. ЛЕКЦИИ И ЗАДАЧИ ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ. - В.Г. Болтянский, Ю.В. Сидоров, М.И. Шабунин. Изд-во: Наука. 1974.