Иррациональные неравенства. ЕГЭ. Решение неравенств. Свойства показательной функции. Равносильность неравенств. ОДЗ неравенства. Тождественные преобразования. Расширение ОДЗ. Посторонние решения. Равносильное неравенство. Логарифмирование неравенств. Решение алгебраических неравенств. Абсолютная величина

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: ut2018@protonmail.com    
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии







Иррациональные неравенства. ЕГЭ


Опыт приемных экзаменов показывает, что с решением неравенств связана большая часть ошибок поступающих.


В подавляющем большинстве случаев решение неравенств, предлагающихся на экзаменах, не требует какой-либо изобретательности, искусственных приемов, и поэтому поступающие, как правило, сразу видят, какие выкладки надо проделать для решения.


Однако многие, проводя эти выкладки, совершают грубые ошибки, связанные с незнанием основных теоретических положений.


Между тем решение неравенства не требует практически ничего, кроме умения свести его к решению простейших неравенств, не допустив при этом ни потери, ни приобретения решений.


Для этого надо знать свойства функций, изучаемых в школе, и владеть основными понятиями, связанными с равносильностью неравенств. Основные определения, необходимые для решения неравенств, почти слово в слово повторяют соответствующие определения для уравнений.


Отметим только два отличия в терминологии: термин «корень» для неравенств не употребляется — всегда говорят «решение»; кроме того, иногда для краткости говорят, что решением является некоторое множество значений х (например, интервал а<х


Необходимо иметь в виду, что решение неравенств по сравнению с решением уравнений имеет свои особенности:


одни и те же преобразования в применении к уравнениям и неравенствам приводят к разным результатам.


Например,


при умножении обеих частей уравнения на некоторый отличный от нуля множитель, имеющий смысл в ОДЗ, уравнение заменится равносильным, а для неравенства указанных требований на множитель недостаточно — надо еще требовать, чтобы он был положителен в ОДЗ.


Точно так же


возведение обеих частей уравнения в квадрат не приводит к потере корней, а то же самое преобразование неравенства может привести и к приобретению, и к потере решений.


К сожалению, поступающие забывают об этих особенностях.


Как ни удивительно, но большое количество ошибок допускается поступающими при решении простейших неравенств.


Это происходит, по-видимому, именно из формально понимаемой аналогии между уравнениями и неравенствами.


Решение алгебраических неравенств первой и второй степени обычно не вызывает затруднений у поступающих. Возникает вопрос о решении неравенств, содержащих абсолютную величину. Поэтому здесь мы остановимся лишь на простейших показательных и логарифмических неравенствах.


При решении простейших показательных неравенств надо помнить о том, что свойства показательной функции различны при основаниях, больших или меньших единицы.


К простейшим неравенствам можно отнести и алгебраические неравенства высоких степеней. Некоторые поступающие решают их разбором различных случаев, т. е. переходом к решению нескольких систем неравенств.


При этом мкогие запутываются, не зная, когда надо взять обшую часть решения, а когда просто объединить решения. В то же время решать такие неравенства можно стандартным методом, так называемым методом интервалов


На экзаменах ЕГЭ достаточно часто предлагаются неравенства, которые с помощью простых алгебраических преобразований и введением нового неизвестного сводятся к простейшим неравенствам.


Наряду с неравенствами, являющимися комбинациями простейших, на Экзаменах ЕГЭ часто предлагаются неравенства, при решении которых приходится использовать различные преобразования неравенств и все связанные с ними понятия.


Из приведенных примеров видно, что дать общий рецепт, как использовать понятие ОДЗ в каждом конкретном случае, невозможно.


Поэтому при решении более сложных примеров также иногда полезно сразу вычислять ОДЗ, а иногда это не имеет смысла делать сразу, так как в дальнейшем оказывается, что в данном примере это будет лишним.


Можно все же дать такой совет: если отыскание ОДЗ несложно, то лучше это сделать (все равно не помешает), а если сложно, то лучше отложить вычисление ОДЗ до того момента, когда оно понадобится.


При решении неравенств часто приходится делать преобразования, которые могут привести к потере или к приобретению решений


Поэтому при решении неравенств, так же, как и при решении уравнений, основную роль играет понятие равносильности.


Уже разобрано понятие равносильности уравнений и показано, почему надо внимательно следить за равносильностью вновь получаемых и исходных уравнений


Для неравенств эти указания еще более существенны, чем для уравнений.


В самом деле, для уравнений часто достаточно указать, что при некотором преобразовании могут появиться посторонние корни, а затем сделать проверку. Для неравенств же проверять решения подстановкой невозможно, так как их обычно бесконечное множество.


Поэтому при решении неравенств надо тщательно следить за равносильностью получаемых и исходных неравенств.


Отметим, что те преобразования, которые приводили к неравносильным уравнениям, приводят, естественно, и к неравносильным неравенствам.


При этом некоторые преобразования лишь расширяют или сужают ОДЗ неравенств.


Для таких преобразований можно указать общий рецепт: преобразований, сужающих ОДЗ, делать нельзя, ибо при этом может произойти потеря решений;


при применении преобразований, расширяющих ОДЗ, надо сначала сделать эти преобразования, затем из решений заключительного неравенства отобрать те значения, которые входят в ОДЗ исходного неравенства; они и будут давать ответ.


Наиболее распространенные преобразования, изменяющие ОДЗ, это «тождественные преобразования», уже отмеченные.


Кроме того, при решении неравенств часто приходится проводить и другие преобразования: освобождение от знаменателя и взятие от обеих частей неравенств некоторых функций — возведение в степень, логарифмирование, потенцирование и т. п. Ниже мы остановимся на этих преобразованиях.


Начнем с такого «безобидного» преобразования, как освобождение от знаменателя.


Как известно,


при решении уравнений освобождение от знаменателя не приводит к потере корней, а лишние корни могут появиться лишь за счет расширения ОДЗ, т. е. за счет добавления в ОДЗ тех значений неизвестного, которые обращают знаменатель в нуль.


Многие считают, что так же обстоит дело и с неравенствами. Поэтому, например, неравенство 1/х < 1 они «решают» так: «освобождаясь от знаменателя, приходим к неравенству 1 < х; все эти х и дают решения исходного неравенства, так как ни при одном из них знаменатель исходного неравенства не обращается в нуль».


Однако легко видеть, что исходное неравенство справедливо и при всех отрицательных х. И все эти решения терялись поступающими из-за того, что при освобождении от знаменателя в неравенствах все происходит совсем не так, как при освобождении от знаменателя в уравнениях.


На самом деле освобождение уравнения (или неравенства) от знаменателя есть умножение обеих частей уравнения (или неравенства) на выражение, стоящее в знаменателе. При этом уравнения остаются равносильными, если их умножить на выражение, не равное нулю, а для неравенств аналогичное свойство формулируется сложнее: при умножении обеих частей неравенства на положительное выражение знак неравенства не меняется, а при умножении на отрицательное выражение знак неравенства меняется на противоположный.


Поэтому, умножая в только что рассмотренном примере обе части неравенства на х, надо было подумать о том, что х может принимать не только положительные, но и отрицательные значения, и во втором случае изменить знак неравенства на противоположный.


Таким образом,


если мы хотим обе части неравенства умножить на выражение, зависящее от х и принимающее как положительные, так и отрицательные значения, то следует рассмотреть два соответствующих случая.


При возведении в степень уравнения, как показано, можно лишь приобрести посторонние решения, причем приобретаются они как за счет расширения ОДЗ, так и тогда, когда не учитываются знаки обеих частей уравнения


Аналогично, и


при решении неравенств можно приобрести лишние решения, причем они также приобретаются как за счет расширения ОДЗ, так и в случае, когда не учтены знаки обеих частей неравенства


Однако, в отличие от уравнений,


при возведении в степень неравенства можно и потерять решения.


Поступающие же, основываясь на неправильно понимаемой аналогии с уравнениями, часто считают, что этого не может быть.


Что касается логарифмирования неравенств, то легко сообразить, в каких случаях это действие приводит к равносильному неравенству.


Однако следует помнить, что


при непродуманном логарифмировании неравенств ОДЗ может сузиться и можно потерять решения


Поэтому перед логарифмированием всегда надо проверить, положительны ли обе части неравенства; лишь в этом случае (естественно, с учетом основания логарифма) мы будем получать равносильное неравенство





Список рекомендуемой литературы:


1. ЕГЭ 2019. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов + 800 дополнительных заданий части 2. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


2. ЕГЭ 2019. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов заданий. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


3. Г.В.Дорофеев, М.К.Потапов, Н.Х.Розов ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗЫ (избранные вопросы элементарной математики). - М:Наука, 1975