Арифметическая прогрессия и ее свойства. ЕГЭ. Математика. Последовательность чисел. Разность прогрессии. Первый член арифметической прогрессии. Сумма первых n членов арифметической прогрессии. Проценты. Относительная погрешность приближенного числа. Абсолютная погрешность. Предельная погрешность. Округление

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: ut2018@protonmail.com    
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии







Арифметическая прогрессия. ЕГЭ


Латинское слово «прогрессия» в переводе на русский язык означает «движение вперед»; этим термином в математике прежде называли всякую последовательность чисел, построенную по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении.


Например, возводя последовательные целые числа в квадрат, получаем последовательность 1, 4, 9, 16, 25 и т. д.; следуя этому закону, можно неограниченно ее продолжить.


Числа, составляющие эту последовательность, называются ее членами. В настоящее время термин «прогрессия» в этом широком смысле не применяется; вместо этого говорят просто последовательность.


Но два простых и важных частных вида прогрессий — арифметическая и геометрическая — сохранили свое прежнее название.


Арифметической прогрессией называется такая последовательность чисел, в которой разность между последующим и предыдущим членами остается неизменной. Эта неизменная разность называется разностью прогрессии


Пример 1. Натуральный ряд чисел 1, 2, 3, 4, 5, ... есть арифметическая прогрессия с разностью 1


Пример 2. Последовательность чисел 10, 8, 6, 4, 2, 0, —2, -4, ... есть арифметическая прогрессия с разностью - 2


Любой член арифметической прогрессии можно вычислить по формуле a[n]=a[1]+d(n-1), (a[1] — первый член прогрессии; d — разность прогрессии; n — номер взятого члена)


Сумма первых n членов арифметической прогрессии выражается формулой s=n(a[1]+a[n])/2


Проценты


Процентом (от латинского pro cento — с сотни) называется сотая часть.


Запись 1% означает 0,01; 27% = 0,27; 100% = 1; 150% =1,5 и т. д.1). 1% от зарплаты означает 0,01 зарплаты; выполнить весь план — значит выполнить 100% плана; выполнение 150% плана означает выполнение 1,5 плана и т. д.


Чтобы найти процентное выражение данного числа, нужно умножить это число на 100 (или, что то же самое, перенести в нем запятую через два знака вправо)


Примеры.


Процентное выражение числа 2 есть 200%, числа 0,357 есть 35,7%, числа 1,753 есть 175,3%. Чтобы найти число по его процентному выражению, нужно разделить процентное выражение на 100 (или, что то же самое, перенести запятую через два знака влево)


Три основные задачи на проценты таковы.


1. Найти указанный процент данного числа. Данное число умножается на число процентов, результат делится на 100 (или, что то же самое, запятая переносится через два знака влево


Пример. По плану суточная добыча шахты должна равняться 2860 тоннам угля. Шахта приняла обязательство выполнять 115% плана. Сколько тонн угля должна дать шахта в сутки? Решение. 1) 2860 • 115 = 328 900. 2) 328 900 : 100 = 3289 т.


2. Найти число по данной величине указанного его процента. Данная величина делится на число процентов; результат умножается на 100 (т. е. запятая переносится через два знака вправо)


Пример. Масса сахарного песка составляет 12,5% от массы переработанной свекловицы. Сколько свекловицы требуется для изготовления 3000 ц сахарного песка? Решение. 1) 3000 : 12,5 = 240. 2) 240 • 100 = 24 000 ц


3. Найти выражение одного числа в процентах другого. Умножаем первое число на 100; результат делим на второе число


Пример 1. Метод скоростного обжига кирпича позволил увеличить выпуск кирпича с одного кубического метра печи с 1200 до 2300 штук. На сколько процентов увеличилось при этом производство кирпича? Решение. 1J300-1200=1100;2) 1100 100 =110 000;3I10 000:1200-91,67.Производство кирпича увеличилось на 91,67%


Пример 2. По плану рабочий должен был изготовить 161 деталь в день, он изготовил 166 деталей. На сколько процентов рабочий выполнил план? Решение. 1) 166 • 100 = 16 600; 2I6 600: 161- 103,1. Рабочий выполнил план на 103,1%


Замечание 1. Во всех трех задачах можно менять порядок действий, например, в последней задаче сначала выполнить деление, а затем результат умножить на 100.


Замечание 2. Нижеприведенный пример предостережет читателя от следующей часто встречаемой ошибки.


Замечание 3. При всех вычислениях с процентами на практике следует пользоваться способами приближенных вычислений


Приближенные вычисления


Числа, с которыми мы имеем дело в жизни, бывают двух типов. Одни в точности дают истинную величину, другие — только приблизительно. Первые называют точными, вторые — приближенными. Часто мы сознательно берем приближенное число вместо точного, так как последнее нам не требуется. Во многих же случаях точное число невозможно найти по сути вопроса.


Пример 1. В этой книге 512 страниц; число 512 — точное. Пример 2. В шестиугольнике 9 диагоналей; число 9 — точное.


Пример 3. Продавец взвесил на автоматических весах 50 г масла. Число 50 — приближенное, ток как весы нечувствительны к увеличению или уменьшению веса на 0,5 г.


Пример 4. Расстояние от станции Москва до станции Санкт-Петербург Октябрьской ж. д. составляет 651 км. Число 651 — приближенное, так как, с одной стороны, наши измерительные инструменты неточны, с другой же стороны, сами станции имеют некоторое протяжение.


Результат действий с приближенными числами есть тоже приближенное число. При этом неточными могут оказаться и те цифры, которые получены действиями над точными цифрами данных чисел


Пример 5. Перемножаются приближенные числа 60,2 и 80,1. Известно, что все выписанные цифры верны, так что истинные величины могут отличаться от приближенных лишь сотыми, тысячными и т. д. долями.


В произведении получаем 4822,02. Здесь могут быть неверными не только цифры сотых и десятых, но и цифры единиц. Пусть, например, сомножители получены округлением точных чисел 60,25 и 80,14.


Тогда точное произведение будет 4828,435, так что цифра единиц в приближенном произведении отличается от точной цифры (8) на 6 единиц.


Теория приближенных вычислений позволяет:1) зная степень точности данных, оценить степень точности результатов еще до выполнения действий;


2) брать данные с надлежащей степенью точности, достаточной, чтобы обеспечить требуемую точность результата, но не слишком большой, чтобы избавить вычислителя от бесполезных расчетов;


3) рационализировать сам процесс вычисления,освободив его от тех выкладок, которые не окажут влияния на точные цифры результата


Правила округления


В приближенных вычислениях часто приходится округлять числа как приближенные, так и точные, т. е. отбрасывать одну или несколько последних цифр


Чтобы обеспечить наибольшую близость округленного числа к округляемому, соблюдаются следующие правила.


Правило 1. Если первая из отбрасываемых цифр больше чем 5, то последняя из сохраняемых цифр усиливается, т. е. увеличивается на единицу


Усиление совершается и тогда, когда первая из отбрасываемых цифр равна 5, а за ней есть одна или несколько значащих цифр. (О случае, когда за отбрасываемой пятеркой нет цифр)


Пример 1. Округляя число 27,874 до трех значащих цифр, пишем 27,9. Третья цифра 8 усилена до 9, так как первая отбрасываемая цифра 7 больше чем 5. Число 27,9 ближе к данному, чем неусиленное округленное число 27,8.


Пример 2. Округляя число 36,251 до первого десятичного знака, пишем 36,3. Цифра десятых 2 усилена до 3, так как первая отбрасываемая цифра равна 5, а за ней есть значащая цифра 1. Число 36,3 ближе к данному (хотя и незначительно), чем неусиленное число 36,2.


Правило 2. Если первая из отбрасываемых цифр меньше чем 5, то усиления не делается


Пример 3. Округляя число 27,48 до единиц, пишем 27. Это число ближе к данному, чем 28.


Правило 3. Если отбрасывается цифра 5, а за ней нет значащих цифр, то округление производится на ближайшее четное число, т. е. последняя сохраняемая цифра оставляется неизменной, если она четная, и усиливается, если она нечетная


Пример 4. Округляя число 0,0465 до третьего десятичного знака, пишем 0,046. Усиления не делаем, так как последняя сохраняемая цифра 6 — четная. Число 0,046 столь же близко к данному, как 0,047.


Пример 5. Округляя число 0,935 до второго десятичного знака, пишем 0,94. Последняя сохраняемая цифра 3 усиливается, так как она нечетная. Пример 6. Округляя числа 6,527; 0,456; 2,195; 1,450; 0,950; 4,851; 0,850; 0,05 до первого десятичного знака, получаем: 6,5; 0,5; 2,2; 1,4; 1,0; 4,9; 0,8; 0,0.


Замечание.


Применяя правило 3 к округлению одного числа, мы не увеличиваем точность округления, Но при многочисленных округлениях избыточные числа будут встречаться примерно столь же часто, как недостаточные


Взаимная компенсация погрешностей, обеспечит наибольшую точность результата


Правило 3 можно изменить и применять всегда округление на ближайшее нечетное число. Точность будет та же, но четные цифры удобнее, чем нечетные.


Абсолютная и относительная погрешность


Абсолютной погрешностью или, короче, погрешностью приближенного числа называется разность между этим числом и его точным значением (из большего числа вычитается меньшее


Пример 1. На предприятии 1284 рабочих и служащих. При округлении этого числа до 1300 абсолютная погрешность составляет 1300 - 1284 = 16. При округлении до 1280 абсолютная погрешность составляет 1284 - 1280 = 4.


Относительной погрешностью приближенного числа называется отношение абсолютной погрешности приближенного числа к самому этому числу


Пример 2. В школе 197 учащихся. Округляем это число до 200. Абсолютная погрешность составляет 200 - 197 = 3. Относительная погрешность равна округленно 1,5%.


В большинстве случаев невозможно узнать точное значение приближенного числа, а значит, и точную величину погрешности. Однако почти всегда можно установить, что погрешность (абсолютная или относительная) не превосходит некоторого числа


Пример 3. Продавец взвешивает арбуз на чашечных весах. В наборе гирь наименьшая — 50 г. Взвешивание дало 3600 г. Это число — приближенное. Точная масса арбуза неизвестна. Но абсолютная погрешность не превышает 50 г. Относительная погрешность не превосходит 1,4%.


Число, заведомо превышающее абсолютную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной абсолютной погрешностью


Число, заведомо превышающее относительную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной относительной погрешностью


Величина предельной погрешности не является вполне определенной.


В тех случаях, когда известна точная величина погрешности, эта величина служит одновременно предельной погрешностью


Для каждого приближенного числа должна быть известна его предельная погрешность (абсолютная или относительная)


Когда она прямо не указана, подразумевается, что предельная абсолютная погрешность составляет половину единицы последнего выписанного разряда. Так, если приведено приближенное число 4,78 без указания предельной погрешности, то подразумевается, что предельная абсолютная погрешность составляет 0,005. Вследствие этого соглашения всегда можно обойтись без указания предельной погрешности числа, округленного по правилам.


Предельная абсолютная погрешность обозначается греческой буквой «дельта»; предельная относительная погрешность — греческой буквой «дельта малая».


Предварительное округление при сложении и вычитании


Если не все данные числа заканчиваются на одном и том же разряде, то до выполнения сложения или вычитания следует произвести округление. Именно, нужно удержать лишь те разряды, которые верны у всех слагаемых. Остальные отбрасываются как бесполезные


При небольшом числе слагаемых все цифры суммы, кроме последней, будут верны. Последняя может быть не вполне точной. Эту неточность можно свести к минимуму, если учесть влияние цифр следующего разряда (запасные цифры)


Пример 1. Найти сумму 25,3 + 0,442 + 2,741. Не округляя слагаемых, получим 28,483. Последние две цифры бесполезны, так как в первом слагаемом возможна неточность в несколько сотых.


Округляя сумму до точных цифр (т. е. до десятых долей), получаем 28,5. Если предварительно произведем округление до точных цифр, то найдем без лишнего труда 25,3 + 0,4 + 2,7 = 28,4. Цифра десятых получилась на 1 меньше. Если же учесть и цифры сотых, получим 25,3 + 0,44 + 2,74 = 28,48, т.е. округленно 28,5. Цифра 5 надежнее, чем 4, хотя не исключена возможность, что верная цифра — именно 4.


Список рекомендуемой литературы:


1. ЕГЭ 2019. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов + 800 дополнительных заданий части 2. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


2. ЕГЭ 2019. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов заданий. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


3. Справочник по элементарной математике / М. Я. Выгодский. — М: ACT: Астрель, 2006. — 509.