Геометрическая прогрессия и ее свойства. ЕГЭ. Математика. Последовательность чисел. Знаменатель прогрессии. Сумма первых n членов геометрической прогрессии. Сумма бесконечно убывающей прогрессии. Среднее арифметическое. Среднее геометрическое. Отношение. Пропорция. Коэффициент пропорциональности
Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии
Геометрическая прогрессия. ЕГЭ
Геометрической прогрессией называется последовательность чисел, в которой отношение между последующим и предыдущим членами остается неизменным. Это неизменное отношение называется знаменателем прогрессии
Пример 1. Числа 5, 10, 20, 40, ... образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 2
Пример 2. Числа 1; 0,1; 0,01; 0,001 и т. д. — геометрическая прогрессия со знаменателем 0,1
Геометрическая прогрессия называется возрастающей, когда абсолютная величина ее знаменателя больше единицы, и убывающей, когда она меньше единицы
Замечание.
Знаменатель прогрессии может быть и отрицательным числом, но прогрессии с отрицательным знаменателем практического значения не имеют
Любой член геометрической прогрессии можно вычислить по формуле a[n]=a[1]qn-1 (а[1] — первый член; q—знаменатель прогрессии; n —номер взятого члена).
Сумма первых n членов геометрической прогрессии (знаменатель которой не равен 1) выражается формулой s[n]=(a[1]-a[n]q)/(1-q)
Если же q = 1, то прогрессия состоит из равных членов и имеем: s[n] = па[1]
Пример З. В геометрической прогрессии 5, 10, 20, 40,... десятый член а[10] = 5 • 512 = 2560
Суммой бесконечно убывающей прогрессии называется число, к которому неограниченно приближается сумма первых n членов убывающей прогрессии при неограниченном возрастании числа n
Сумма бесконечной убывающей прогрессии выражается формулой s=a[1]/(1-q)
Средние величины
Если дан ряд величин, то всякая величина, заключенная между наименьшей и наибольшей из данных величин называется «средней».
Из средних величин
наиболее применяемы средняя арифметическая и
средняя геометрическая.
Средняя арифметическая величина (или среднее арифметическое) получается сложением данных величин и делением суммы на число этих величин
Среднее геометрическое всегда меньше среднего арифметического, кроме того случая, когда все взятые числа равны
Вычисление среднего арифметического имеет
большое значение во всех областях практики.
Пример 1. Измеряется расстояние между
двумя пунктами с помощью 10-метровой рулетки с
сантиметровыми делениями. Сделано 10 промеров.
Результаты их (в метрах): 62,36; 62,30; 62,32; 62,31; 62,36;62,35; 62,33; 62,32; 62,38; 62,37.
Различие
результатов объясняется случайными неточностями
измерений. Тогда вычисляют среднее арифметическое:
s = F2,36 + 62,30 + 62,32 + 62,31 + 62,36 + 62,35+ 62,33 + 62,32 + 62,38 + 62,37): 10 = 62,34.
Это число представляет более надежную величину
измеряемого расстояния, чем числа, полученные при
измерении, потому что случайные ошибки почти
всегда компенсируются при вычислении среднего.
Пример 2. У тысячи взрослых людей измерен
рост. Найдено среднее арифметическое. Это — так
называемый «средний рост». Он не выражает, вообще говоря, роста определенного человека. Но если измерить
рост большого числа других людей и снова вычислить
среднее арифметическое, то средний рост окажется
почти таким же. Разумеется, теоретически возможны
случаи, когда в группе из 1000 лиц будут преобладать
великаны или карлики. Но из числа всех возможных
случаев эти исключительные случаи составляют, как
показывают вычисления, ничтожнейший процент.
Поэтому практически безошибочно можно считать,
что в любой группе из 1000 человек, средний рост
будет почти одинаковым.
Средние арифметические, найденные из массовых измерений, называются статистическими средними
Статистические средние имеют большое
практическое значение. Например, зная средний удой коровы
определенной породы при определенных условиях ее
питания и т. д., можно вычислить удой стада,
умножая средний удой на число коров в стаде.
Сокращенное вычисление среднего арифметического
Числа, для которых вычисляется среднее
арифметическое, обычно мало отличаются друг от друга.
Тогда вычисление среднего арифметического можно
очень упростить с помощью следующего приема:
1. Выбираем произвольно какое-нибудь число,близкое к данным числам. Если данные числа отличаются друг от друга только в последней цифре, то в выбираемом числе предпочтительно взять за последнюю цифру 0; если данные числа отличаются друг от друга в двух последних цифрах, удобно взять число с двумя нулями на конце и т. д.
2. Вычитаем это число по очереди из всех данных
чисел. При этом могут получаться положительные и
отрицательные числа. Если хотят этого избежать, нужно взять число, меньшее всех
данных чисел. Но вычисления будут несколько легче, если взять
какое-нибудь среднее между данными числами.
3. Берем среднее арифметическое найденных
разностей.
4. Прибавляем среднее арифметическое к взятому
числу.
Пример. Найти среднее арифметическое
десяти чисел: 62,36; 62,30; 62,32; 62,31; 62,36; 62,35;
62,33; 62,32; 62,38; 62,37 (ср. пример предыдущего
параграфа).
1. Выбираем число 62,30.
2. Вычитаем 62,30 из данных чисел; находим
разности (в сотых долях) 6; 0; 2; 1; 6; 5; 3; 2; 8; 7.
3. Берем среднее арифметическое разностей;
получаем 4 (сотых).
4. Прибавляем 0,04 к 62,30. Получаем 62,34.
Это — искомое среднее арифметическое.
Точность среднего арифметического
Если среднее арифметическое получено из сравнительно небольшого ряда данных измерения, то не исключена возможность, что истинная величина несколько отклоняется от вычисленной средней
Тогда важно знать, как велико может быть это отклонение; речь идет не о теоретически мыслимом отклонении (оно может быть как угодно велико), а о практически возможном. Величина последнего зависит от величины среднего квадратичного отклонения
Средним квадратичным отклонением называется квадратный корень из средних арифметических всех квадратов разностей между данными числами и их средним арифметическим
Среднее квадратичное отклонение принято обозначать греческой буквой сигма.
Если число измерений примерно равно 10, то истинное значение величины может отличаться от среднего арифметического не более чем на величину среднего арифметического отклонения a
Точнее говоря, отклонения, большие чем а, возможны лишь в исключительных случаях, число которых составляет около полупроцента всех возможных случаев
Если число измерений значительно больше десяти, то максимальное практически возможное отклонение истинной величины от среднего арифметического будет меньше чем а
Отношение и пропорция
Частное от деления одного числа на другое называется также их отношением
Термин «отношение»
применялся прежде только в тех случаях, когда
требовалось выразить одну величину в долях другой,
однородной с первой, например одну длину в долях другой,
одну площадь в долях другой площади и т. д., что
выполняется с помощью деления.
Отсюда
понятно, почему появился особый термин «отношение»:
раньше его смысл был иной, чем термина «деление»,
который относили к делению некоторой именованной
величины на отвлеченное число. Сейчас этого
различия не делают; говорят, например, об отношении
неоднородных величин, скажем массы тела к его объему и
т. д. Когда речь идет об отношении однородных
величин, его часто выражают в процентах.
Пример. В библиотеке 10 000 книг; из них 8000
на русском языке; каково отношение числа русских
книг к общему их числу? 8000 : 10 000 — 0,8. Искомое
отношение есть 0,8 или 80%.
Делимое называют предыдущим членом
отношения, делитель — последующим. В нашем примере
8000 — предыдущий член, 10 000 — последующий.
Два равных отношения образуют пропорцию.
Так, если в одной библиотеке 10 000 книг, из них 8000
на русском языке, в другой библиотеке — 12 000 книг,
из них 9600 на русском языке, то отношение числа
русских книг к общему числу книг в обеих
библиотеках одинаково: 8000 :10 000 = 0,8; 9600 : 12 000 = 0,8.
Мы имеем здесь пропорцию, которая записывается
так: 8000:10 000 = 9600:12 000. Говорят:
«8000 относится к 10 000 так, как 9600 к 12 000». 8000 и
12 000 — крайние члены; 10 000 и 9600 — средние
члены пропорции.
Произведение средних членов пропорции равно произведению крайних
В нашем примере 8000 X
X12 000 = 96 000 000; 10 000 • 9600 = 96 000 000.
Один из крайних членов пропорции равен произведению
средних членов, деленному на другой крайний. Точно
так же один из средних членов равен произведению
крайних, деленному на другой средний.
Пропорциональность
Значения двух различных величин могут взаимно зависеть друг от друга. Так, площадь квадрата зависит от длины его стороны, и обратно, длина стороны квадрата зависит от его площади
Две взаимно зависимые величины называются пропорциональными, если отношение их значений остается неизменным
Неизменное отношение пропорциональных величин называется коэффициентом пропорциональности; коэффициент пропорциональности показывает, сколько единиц одной величины приходится на единицу другой
Если две величины пропорциональны, то любая пара значений одной величины образует пропорцию с парой соответствующих значений другой, взятых в том же порядке
В нашем примере 1,6 : 4 = 2 : 5; 1,6 :
: 5,6 — 2 : 7 и т. д. В соответствии с этим вместо
вышеприведенного определения пропорциональности
можно дать такое: две величины, зависящие друг от друга
так, что при увеличении одной из них другая
увеличивается в том же отношении, называются
прямо пропорциональными.
Две величины, зависящие друг от друга так, что при увеличении одной другая в том же отношении уменьшается, называются обратно пропорциональными
Если две величины обратно пропорциональны, то любая пара значений одной величины образует пропорцию с парой соответствующих значений другой, взятых в обратном порядке
Практические применения пропорций.
Интерполяция
Решение многих задач связано с рассмотрением пропорциональных величин
Пример 1. Суточное потребление топлива на
заводе составляло до проведения рационализации 1,8 т;
годовой расход на топливо составлял 300 000 руб.
После проведения рационализации суточное потребление
снизилось до 1,5 т. Какую сумму расходов на топливо
нужно запланировать на год?
Решение задачи таково: находим 1) годовое
потребление топлива до рационализации: 1,8 • 365 — 657 (т);
2) стоимость 1 т топлива: 300 000 : 657 = 457 (руб.);
3) годовой расход на топливо после рационализации:
457 • 1,5 • 365 = 250 000 (руб.).
Гораздо быстрее и легче решить задачу, учтя, что
суточное потребление топлива и годовой расход на
него — величины пропорциональные (что видно из
того, что увеличение суточного потребления
увеличивает в то же число раз годовой расход;).
Схема решения: х : 300 000 =1,5: 1,8. Тогда х= 250 000 (руб.)
Хотя пропорциональная зависимость встречается
очень часто, все же огромное число зависимостей, с
которыми приходится иметь дело на практике, не подчиняется закону пропорциональности. Тем более важно
отметить, что даже для таких величин схема
пропорционального расчета не теряет значения. Именно,
если рассматривать изменения непропорциональных
величин внутри некоторых тесных пределов, то эти
изменения будут практически пропорциональны.
Латинское слово «интерполяция» в переводе означает
«вставка внутрь».
В математике интерполяцией называется всякий способ, с помощью которого по таблице, содержащей некоторые числовые данные, можно найти промежуточные результаты, которые непосредственно не даны в таблице
Рассмотренный нами простейший способ интерполяции называется линейной интерполяцией.
Интерполяция широко применяется при пользовании таблицами самого разнообразного содержания.
Список рекомендуемой литературы:
1. ЕГЭ 2019. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов + 800 дополнительных заданий части 2. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН
2. ЕГЭ 2019. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов заданий. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН
3. Справочник по элементарной математике / М. Я. Выгодский. — М: ACT: Астрель, 2006. — 509.
