Применение арифметической и геометрической прогрессий. ЕГЭ. Числовая последовательность. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Знаменатель геометрической прогрессии. Определение геометрической прогрессии. Первый член геометрической прогрессии. Арфметическая прогрессия. Разность

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: ut2018@protonmail.com    
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии







Применение арифметической и геометрической прогрессий. ЕГЭ


Если понятие арифметической прогрессии никаких затруднений не вызывает, то с определением геометрической прогрессии иногда возникает путаница.


Поэтому на нем целесообразно остановиться подробнее.


Одни поступающие приводят определение геометрической прогрессии так, как оно формулируется в учебнике:


«Геометрической прогрессией называется такая числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на некоторое постоянное для данной последовательности число, отличное от нуля».


Таким образом, с точки зрения первого определения, последовательность 2,0,0,0 0,... 0) геометрической прогрессией не является, тогда как второе определение позволяет считать ее геометрической прогрессией «с нулевым знаменателем».


Конечно, в выборе определения всегда имеется известная свобода.


Об определении бессмысленно спорить, верно оно или нет, ибо определение не доказывается.


Но, давая новое определение, следует руководствоваться соображениями целесообразности. С этой точки зрения рассмотрим второе из упомянутых выше определений, т. е. будем для знаменателя прогрессии допускать и нулевое значение. Введение общего понятия геометрической прогрессии было вызвано стремлением изучить встречавшиеся в разных вопросах и задачах последовательности с положительными членами, у которых каждый последующий член больше своего предыдущего в одно вполне определенное число раз.


Между тем для последовательности вопрос о том, во сколько раз третий член больше второго, лишен смысла.


Желательно, чтобы геометрическая прогрессия однозначно восстанавливалась по своему любому члену и знаменателю. Однако если известно, что знаменатель прогрессии равен нулю, а ее третий член также нуль, то определить однозначно первый ее член, очевидно, невозможно.


Более того, если (при нулевом знаменателе) третий член отличен от нуля (например, равен единице), то удовлетворяющей этим условиям геометрической прогрессии даже не существует).


Из сказанного видно, что последовательности обладают совершенно аномальными свойствами, и потому считать такие последовательности геометрическими прогрессиями нецелесообразно. Вот почему в определении геометрической прогрессий разумно потребовать, чтобы ее знаменатель был отличен от нуля.


Однако и это определение не обладает достаточной целесообразностью.


В рамках этого определения ничто не мешает нам рассматривать последовательность 0, 0, 0, 0, .... 0, ... ) как геометрическую прогрессию со знаменателем 2 или со знаменателем Уз- Возможность такой неоднозначности знаменателя прогрессии нежелательна). Для того чтобы устранить и эту возможность), лучше всего определение геометрической прогрессии формулировать следующим образом: геометрической прогрессией называется такая числовая последовательность, у которой первый член отличен от нуля, а каждый из последующих равен своему предыдущему, умноженному на некоторое постоянное для данной последовательности число, отличное от нуля.


Можно привести и другие «нежелательные эффекты», которые последуют из второго упомянутого выше определения.


Отметим, что все эти эффекты не имеют никаких аналогов в теории арифметической прогрессии. Между тем целесообразно, чтобы теория арифметической прогрессии и теория геометрической прогрессии были аналогичны.


2) Заметим также, что из самого определения суммы S бесконечной последовательности легко найти величину суммы членов последовательности A1): S «= 0. Поэтому если A1) рассматривать как геометрическую прогрессию со знаменателем 2, то мы получили бы пример геометрической прогрессии, имеющей сумму, но не являющейся бесконечно убывающей.


3) В учебнике возможность рассматривать A1) как геометрическую прогрессию неявно исключается, однако вто, к сожалению, не вносится в само определение.


Среди членов геометрической прогрессии не может быть нулей.



Пониманию определений прогрессий посвящен и такой вопрос, который иногда вызывает затруднения: арифметической или геометрической прогрессией является последовательность 1, 1, 1, ..., 1, ...?


На самом деле


эту последовательность можно рассматривать одновременно и как арифметическую прогрессию (с разностью 0) и как геометрическую (со знаменателем 1).


Довольно часто при решении задач бывает нужно записать условие, при котором данные величины составляют геометрическую прогрессию.


В общем виде это условие формулируется так: если квадрат каждого (кроме первого и последнего) члена числовой последовательности с ненулевыми членами равен произведению соседних с ним членов, то эта последовательность является геометрической прогрессией).


Используя это утверждение (его доказательство не вызывает затруднений), мы можем сразу написать п — 2 равенства, при выполнении которых данные п чисел составляют геометрическую прогрессию.


Непосредственно проверяется, что


справедливо и обратное утверждение — характеристическое свойство геометрической прогрессии: квадрат любого члена геометрической прогрессии (кроме первого и последнего) равен произведению соседних с ним членов.


Приведенное свойство геометрической прогрессии часто перефразируют иначе:


любой член (кроме крайних) геометрической прогрессии является средним геометрическим своих соседних членов.


Однако совершенно ясно, что в таком виде утверждение справедливо только для геометрических прогрессий с положительными членами.


Отметим, что это утверждение (как и характеристическое свойство геометрической прогрессии) сформулировано лишь для последовательности с положительными членами. Но такая формулировка неудобна при решении задач, поскольку зачастую мы не знаем заранее, будут ли члены рассматриваемой последовательности (являющиеся, как правило, выражениями от неизвестной величины) положительными.


При решении задач на арифметическую прогрессию часто бывает удобно вместо стандартной записи членов прогрессии употреблять запись a, a+d, a+2d, ...


эта форма явно показывает, что выписанные числа образуют арифметическую прогрессию и зависят от двух параметров a и d.


Аналогичное замечание справедливо и для геометрической прогрессии. И вообще, за счет удачного обозначения членов прогрессии иногда удается достичь значительного упрощения решения.


Обычно поступающие успешно справляются с задачами на прогрессии, поскольку сведения и формулы, необходимые для их решения, ясны и легко запоминаются.


Большие трудности вызывают, однако, задачи, в которых простого применения формул недостаточно.


В некоторых задачах применение известных формул для арифметической или геометрической прогрессий оказывается возможным только после некоторых специальных преобразований.


Несколько слов скажем по поводу бесконечно убывающей геометрической прогрессии. При рассмотрении этой прогрессии следует особое внимание уделить четкому выяснению принципиальной разницы между вопросом об определении понятия суммы такой прогрессии и вопросом о вычислении величины этой суммы.


Следует ясно представлять себе, что прежде чем вычислять сумму бесконечной последовательности чисел, нужно убедиться в ее существовании.


Геометрическую прогрессию с бесконечным числом членов и знаменателем q, удовлетворяющим неравенству 0<|q|< 1, называют бесконечно убывающей геометрической прогрессией.


Это название не совсем удачно: такая прогрессия действительно будет убывающей только в случае, если ее первый член положителен, а знаменатель удовлетворяет неравенству q меньше 1 и больше 0.


Например, бесконечно убывающая геометрическая прогрессия 1, —1/2, 1/4, —1/8, ... в соответствии с общепринятой терминологией не является убывающей.




Список рекомендуемой литературы:


1. ЕГЭ 2019. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов + 800 дополнительных заданий части 2. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


2. ЕГЭ 2019. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов заданий. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


3. Г.В.Дорофеев, М.К.Потапов, Н.Х.Розов ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗЫ (избранные вопросы элементарной математики). - М:Наука, 1975