Задачи с параметрами. ЕГЭ. Математика. Уравнения. Неравенства. Системы уравнений. Тригонометрические системы. Решение уравнений. Четная функция. Равносильность уравнений. Корень уравнения. Множество действительных чисел. Расположение корней квадратного трехчлена. Линейная функция. Теорема Виета. График. Параметр

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: ut2018@protonmail.com    
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии







Задачи с параметрами. ЕГЭ


Для решения задач с параметрами часто рассуждают следующим образом. Пусть параметр а — некоторое фиксированное число, удовлетворяющее условию задачи; такие значения а будем называть подходящими


Далее будем выводить следствия из условия задачи и предположения относительно а. Тем самым получаются некоторые условия, которым обязаны удовлетворять подходящие значения параметра


Таким образом, значения параметра, не удовлетворяющие этим следствиям, автоматически; не являются подходящими, и остается рассмотреть лишь, те значения параметра, которые удовлетворяют полученным следствиям


В частности, если этим следствиям удовлетворяют! лишь некоторые конкретные значения, та задача сводится просто к проверке этих значениq.


Распространенным типом задач, необычных по внешнему виду, являются «одиночные» уравнения и неравенства с двумя или более неизвестными и системы уравнений, в которых число неизвестных не равно числу уравнений


Несколько таких задач — систем двух уравнений с одним неизвестным — мы уже решили в предыдущих примерах.


Большие психологические затруднения у поступающих обычно вызывают задачи, где неизвестных больше, чем уравнений или неравенств: видимо, это связано с мнением, явно или неявно выражаемым, что из малого числа условий нельзя определить большое число неизвестных


Отметим прежде всего, что


решить неравенство с двумя неизвестными х и у — значит, естественно, указать все пары чисел х, у, при подстановке которых в данное неравенство получается верное числовое неравенство


Указать все такие пары можно, очевидно, или непосредственно, так, как, например, они указываются при решении обычных систем уравнений (при этом их может быть и бесконечно много — скажем, для тригонометрических систем), или геометрически—изобразив область, составленную из соответствующих точек плоскости.


Поэтому


естественно привести данное неравенство к такому виду, чтобы его решения легко изображались на плоскости


Задачи, где наиболее существенные трудности — логические


Очень серьезные трудности логического характера вызывают обычно уравнения, неравенства или системы с параметрами, в которых требуется найти такие значения этих параметров, при которых выполняются некоторые дополнительные требования


(например, уравнение имеет единственное решение или, наоборот, удовлетворяется всеми допустимыми значениями х, или всякое решение одной системы уравнений является решением другой системы, или всякое решение одного неравенства является решением другого и т. п.).


Эти задачи являются, пожалуй, наиболее трудными из предлагаемых на экзаменах, именно потому, что они требуют логической культуры — того, чего не хватает большинству поступающих


Чтобы решить такую задачу, необходимо в каждый момент представлять себе, что уже сделано, что еще надо сделать, что означают уже полученные результаты


Именно здесь становилось ясно, кто понимает поставленную задачу, а кто просто делает какие-то выкладки, не отдавая себе отчета, что он, собственно говоря, делает и зачем это ему нужно.


Вспомним теперь нашу основную задачу: ведь нам нужно не решить уравнение, а лишь определить, при каких а оно имеет единственное решение.


Все эти рассуждения приходится проводить для того, чтобы решить задачу для себя, получить ответ.


Это, можно сказать, «черновое» решение. Теперь покажем, как можно было бы изложить «чистовое» решение.


В соответствии с только что сказанным предполагаем сначала, что а — некоторое подходящее число, т. е. число, удовлетворяющее условию задачи.


Приведенное решение требует еще нескольких слов — не математического, а скорее психологического характера.


Как часто бывает, это решение легко понять, но как его найти? Конечно, на этот вопрос в общем случае нельзя дать универсальный ответ


В нашем решении есть три таких «догадки». Первое — мы заметили, что система не меняется при замене х на —х, и это дало нам существенное продвижение. Невозможно сказать, как это заметить, но каждый, кто знаком с понятием четности и нечетности функций и имеет навык в обращении с ними, сможет это сделать.


Второе — мы стали решать систему нестандартным путем, используя неравенства. Эта догадка несколько сложнее, но изложенные в предыдущих параграфах примеры показывают, что применение неравенств для решения уравнений часто бывает необходимо.


И, наконец, третье — мы догадались, что при а = 2 исходная система имеет еще одно решение. Мы попытались просто подобрать решение, и это удалось. Этот путь оказался успешным только благодаря наличию «хороших» целочисленных решений. В некоторых случаях такой подбор является единственным возможным путем решения.


Пусть а — иодходящее значение параметра, т. е. такое значение, при котором данная система имеет хотя бы одно решение при всяком значении b. Выберем некоторое значение b это можно сделать совершенно произвольно, но мы выберем b так, чтобы система приняла наиболее простой вид.


Для выяснения равносильности двух уравнений существуют в принципе два пути: первый — получить каждое уравнение из другого с помощью некоторых преобразований, и второй — в соответствии с определением равносильности доказать, что всякий корень одного уравнения является корнем другого уравнения, и наоборот


В нашем примере первый путь, по-видимому, неприменим и придется воспользоваться вторым путем.


Однако и здесь все не так просто:


трудно вести рассуждения о совпадении корней двух уравнений, которые так непохожи одно на другое; единственное, что здесь может спасти, — это знание всех этих корней или корней хотя бы одного из уравнений


В задачах трудность состоит не только в логической аккуратности, но и в нахождении способов рассуждений, в умении отыскать иногда довольно извилистый путь к решению


Мы видим, что решение этой задачки действительно требует довольно тонких рассуждений.


Можно убедиться, что «лобовое» использование условий задачи не приводят к успеху. Между тем многие поступающие выписывали условия, обеспечивающие существование корней всех трех уравнений, и пытались решить получающуюся громоздкую систему неравенств, или, записав по известным формулам выражения для корней данных уравнений, старались их сравнить между собой.


В ряде задач, по внешнему виду чисто алгебраических, нащупать путь решения гораздо легче, если воспользоваться геометрическим языком


Вообще,


умение решать задачи комбинированными средствами и, в частности, использовать геометрические и графические представления при решении алгебраических задач, является одним из основных требований, предъявляемых к поступающим


Известно, что решения квадратного неравенства, если они существуют, образуют на числовой оси либо интервал, либо два бесконечных интервала, либо все множество действительных чисел, и это зависит от знаков дискриминанта и коэффициента при старшем члене.


Задачи, связанные с расположением корней квадратного трехчлена


Квадратный трехчлен с полным правом можно назвать главной функцией всей школьной математики


Если не считать уж совсем простой линейной функции, то это, пожалуй, единственна:: функция, для которой в школьном курсе строго доказываются все свойства, нужные в теории и для решения задач.


Безукоризненное знание необходимых свойств квадратного трехчлена требуется от каждого поступающего


Такое особое положение квадратного трехчлена, естественно, отражается и на вступительных экзаменах — и на письменных, и на устных, где число задач, решаемых с помощью свойств квадратного трехчлена, очень велико, а сами эти задачи чрезвычайно разнообразны.


При этом наряду с задачами, решение которых получается сразу из известных теорем (такими, как решение квадратных уравнений и неравенств, нахождение условия существования корней, определение знаков корней, отыскание наибольшего и наименьшего значения квадратного трехчлена), встречаются (и не менее часто) задачи, где непосредственного применения простейших теорем оказывается недостаточно.


Не имея возможности описать полностью все встречающиеся типы задач на квадратный трехчлен, мы останавливаемся здесь только на задачах, в которых в том или ином виде идет речь о расположении корней.


Среди стандартных школьных задач, перечисленных выше, есть одна задача такого типа: в самом деле,


определить знаки корней — это и значит выяснить расположение корней относительно точки 0. Как известно, эта задача решается с помощью теоремы Виета


А как быть, если требуется выяснить расположение корней относительно какой-нибудь другой точки? Неужели точка 0 настолько «лучше» других точек, что для нее задача решается сразу, а для других точек это уже проблема?


Разумеется, нет. Единственное, чем точка 0 отличается в этом смысле от других точек, это то, что для нее уже есть «готовая» теорема Виета, а для всех остальных аналогичную теорему для решения задачи надо еще придумать.


Но здесь мы попадаем в сложное положение: если придумать теоремы, с помощью которых все задачи на расположение корней решались бы так же просто, как определение знаков корней, то число этих теорем было бы столь велико, что их просто невозможно было бы запомнить.


Для придумывания этих теорем нужно не только знание свойств квадратного трехчлена, нужно действительно свободное владение ими и прежде всего умение мыслить одновременно на двух языках — алгебраическом и геометрическом. Это означает, что для любого свойства, сформулированного словесно или на алгебраическом языке, нужно уметь давать геометрическую интерпретацию на графике. И наоборот, любое свойство графика надо уметь описать словами и формальными алгебраическими условиями.


Например, старший коэффициент меньше нуля — значит, ветви параболы направлены внииз; трехчлен не имеет действительных корней — значит, парабола не пересекает и не касается оси абсцисс; график трехчлена находится выше оси абсцисс.


Решение многих задач — это по-существу пополнение «словаря перевода» с алгебраического языка на геометрический и обратно


Список рекомендуемой литературы:


1. ЕГЭ 2019. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов + 800 дополнительных заданий части 2. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


2. ЕГЭ 2019. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов заданий. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


3. ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗЫ (избранные вопросы элементарной математики). - Г.В.Дорофеев, М.К.Потапов, Н.Х.Розов - М:Наука, 1975