Треугольники. ЕГЭ. Применение теорем. Касательная к окружности. Прямоугольные треугольники. Медиана треугольника. Равнобедренный треугольник. Высота треугольника. Признаки подобия треугольников. Признаки подобия прямоугольных треугольников. Свойства хорд, секущих и касательных. Теорема косинусов. Теорема синусов. Чертеж

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: ut2018@protonmail.com    
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии







Решение планиметрических задач. ЕГЭ


Решение геометрических задач часто вызывает трудности у учащихся. Это в первую очередь связано с тем, что редко какая задача в геометрии может быть решена только с использованием определенной формулы.


При решении большинства задач не обойтись без привлечения разнообразных фактов теории, доказательств тех или иных утверждений, справедливых лишь при определенном расположении элементов фигур.


Можно с уверенностью сказать, что для успешного решения геометрических задач неооходимо свободно владеть всем теоретическим материалом.


Но и при хорошем знании теории приобрести навык в решении задач можно лишь решив достаточно много задач, начиная с простых и переходя к более сложным.


В этой главе приведено большое число задач различной трудности с решениями. Особенно подробны решения задач, где мы напоминаем формулировки многих теорем и показываем их применение.


Ряду задач предшествует обсуждение некоторых определений и теорем. Это сделано с целью подчеркнуть важные и часто ускользающие от внимания учащихся их следствия. Некоторые утверждения, содержащиеся в школьном учебнике лишь в форме задач, нами сформулированы и доказаны как теоремы, так как они часто используются в решении задач.


Одна и та же задача может быть решена, как правило, несколькими способами. Приведенные здесь решения не всегда самые изящные и короткие, однако мы рыбрали именно эти решения для того, чтобы показать определенные приемы решений, продемонстрировать применение различных теорем. Сделаем несколько общих замечаний.


О чертеже. Выполняя чертеж (рисунок), стремитесь сделать его соответствующим условиям задачи. Так, если сказало, что некоторый угол вдвое больше другого или отрезки перпендикулярны, отразите это на чертеже.


Хороший чертеж — это удобный для восприятия наглядный способ записи условий задгчи, он может стать помощником в решении задачи, подсказать правильный ход рассуждений.


В то же время надо отчетливо понимать, что даже самый аккуратный, выполненный с помощью циркуля и линейки чертеж сам по себе ничего не доказывает.


Все, что «увидено» из чертежа, должно быть обосновано соответствующим логическим выводом.


О поиске решения. Начиная решать задачу, используйте определение и свойства входящих в задачу данных и искомых элементов, ведите рассуждения: треугольник равнобедренный, следовательно, ..., две касательные проведены из одной точки, следовательно, ..., окружность описана около прямоугольного треугольника, следовательно, ...и т. п.


Вспомните теоремы, в которых связаны данные и искомые элементы задачи, вспомните похожие задачи.


О проверке решения. Для контроля правильности решения задачи (особенно самоконтроля на экзаменах) полезно не только еще раз просмотреть решение и проверить выкладки, но провести, в некотором смысле, обратное решение: исходя из ответа, вычислить известные элементы, проверить, существует ли фигура при найденном значении искомой величины.


Если задача с параметром, выбрать для проверки такое значение параметра, при котором решение очевидно или результат легко находится.


Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.


Прямоугольные треугольники конгруэнтны, если гипотенуза и катет одного конгруэнтны гипотенузе и катету другого.


Теорема. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую этому углу сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.


Если дее параллельные прямые пересечены третьей, то соответственные, а следовательно, и накрест лежащие углы конгруэнтны.


Дуги, заключенные между параллельными хордами конгруэнтны, кроме того, конгруэнтные дуги стягиваются конгруэнтными хордами.


Вписанный угол, опирающийся на диаметр - прямой.


Отрезки двух параллельных прямых, заключенные между двумя параллельнымипрямыми, конгруэнтны между собой.


Диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам.


Прямоугольные треугольники конгруэнтны, если катеты одного конгруэнтны катетам другого.


Если медиана треугольника является высотой, то треугольник равнобедренный.


Легко доказываются также следующие признаки равнобедренного треугольника:


если углы при основании треугольника равны, то треугольник равнобедренный;


если высота треугольника является биссектрисой, то треугольник равнобедренный;


если медиана треугольника является биссектрисой, то треугольник равнобедренный.


В равнобедренном треугольнике биссектриса является медианой и высотой.


Если из точки к окружности проведены две касательные, то а) длины отрезков касательных от этой точки до точек касания равны, б) прямая, проходящая через центр окружности и эту точку, делит угол между касательными пополам.


В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны.


около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда симма противоположных углов четырехугольника равна 180°.


Величина вписанного угла равна половине угловой величины дуги, на которую он опирается.


Признаки подобия треугольников


1. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.


2. Если два угла одного треугольника равны двум углом другого треугольника, то такие треугольники подобны.


3. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.


Сформулируем признаки подобия прямоугольных треугольников


1. Деа прямоугольных треугольника подобны, если они имеют по равному острому углу.


2. Деа прямоугольных треугольника подобны, если катеты одного пропорциональны катетам другого.


3. Два прямоугольных треугольника подобны, если катет и гипотенуза одного пропорциональны катету и гипотенузе другого.


Из определения подобия фигур следует, что в подобных фигурах все соответственные линейные элементы пропорциональны.


Так, отношение периметров подобных многоугольников равно отношению длин соответствующих сторон. Или, например,


в подобных треугольниках отношение радиусов вписанных окружностей (также и описанных окружностей) равно отношение длин соответственных сторон.


отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.


Для треугольников это утверждение можно сформулировать так:


площади подобных треугольников относятся как квадраты длин соответственных сторон.


Свойства хорд, секущих и касательных.


Углы, измеряемые с помощью дуг окружности.


Угловой величиной дуги называют величину соответствующего ей центрального угла.


Величина вписанного угла равна половине угловой величины дуги, на которую он опирается.


Установим, как измеряются углы с вершинами внутри или вне круга, когда стороны этих углов пересекаются с окружностью.


Теорема. Величина угла с вершиной внутри круга равна полусумме угловых величин дуг, заключенных между его шеренгами и их продолжениями.


Величина угла, образованного двумя секущими с вершиной вне круга, стороны которого пересекают этот круг, равна полуразности угловых величин большей и меньшей дуг, заключенных между его сторонами.


Теорема. Величина угла, образованного касательной и хордой, имеющими общую точку на окружности, равна половине угловой величины дуги, заключенной между его сторонами.


Теорема. Если из точки М к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от точки М до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от точки М до точек ее пересеченая с окружностью.


Свойство пересекающихся хорд.


Теорема. Если через точку, взятую внутри круга, проведены две хорды, то произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды.


Алгебраические и тригонометрические методы решения.


Применение векторной алгебры.


В рассмотренных ранее задачах нам приходилось решать несложные алгебраические уравнения, использовать теоремы косинусов и синусов, находить значения углов.


Очевидно, что отделить геометрию от алгебры и тригонометрии невозможно, поскольку многие геометрические утверждения сформулированы в алгебраической форме (теорема Пифагора или свойство высоты прямоугольного треугольника) или тригонометрической (теоремы синусов и косинусов).


Однако возможности применения алгебры и тригонометрии гораздо шире.


Во многих случаях решения геометрических задач сводятся к решению соответствующих алгебраических или тригонометрических уравнений и систем.


При сведении геометрической задачи к алгебраической или тригонометрической приходится вводить несколько неизвестных.


Не обязательно за неизвестные величины принимать те, которые требуется найти. Как показывает решение задачи, иногда удобно ввести другие, относительно которых получаются более простые соотношения и, лишь найдя их, вычислять искомые. Кроме того, найденные решения алгебраических и тригонометрических уравнений и систем часто требуют геометрической проверки, как, например, в задаче.


Большинство геометрических задач на максимум и минимум также решаются с привлечением алгебры и тригонометрии.


В этих случаях задачу сводят к исследованию на максимум н минимум некоторой алгебраической или тригонометрической функций.


Заметим, что при этом исследование надо проводить на том множестве значений аргумента, на котором существует рассматриваемая геометрическая фигура.


Применение векторной алгебры.


С помощью векторное алгебры некоторые задачи и теоремы планиметрии, требующие сложных геометрических рассуждений, сводятся к сравнительно простым вычислениям.


Список рекомендуемой литературы:


1. ЕГЭ 2019. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов + 800 дополнительных заданий части 2. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


2. ЕГЭ 2019. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов заданий. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


3. ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗЫ. Под редакцией Г. Н. Яковлева - М: Наука, 1982