Окружность и круг. ЕГЭ. Точки, прямые, отрезки, окружности, дуги, многоугольники, круги, плоскости, сфера. Центр окружности. Метод координат. Задачи на построение. Метод симметрии. Метод подобия. Метод множеств. Треугольник. Координаты точки. Множество точек плоскости. Двугранные углы. Пара взаимно перпендикулярных плоскостей

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: ut2018@protonmail.com    
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии







Множества точек на плоскости и в пространстве. ЕГЭ


Множества точек, обладающих заданным свойством


В геометрии часто возникает потребность выделить из всех точек плоскости или пространства те точки, которые обладают некоторым специальным свойством.


Все точки плоскости или пространства разбиваются при этом на два множества: одно множество включает в себя те и только те точки, которые обладают указанным свойством; другое множество состоит из всех остальных точек, и следовательно, ни одна точка этого второго множества не обладает рассматриваемым свойством.


Каждая задача, связанная с нахождением того или иного множества точек, обладающих некоторым свойством, неизбежно требует доказательства двух утверждений, двух теорем: прямой и противоположной.


Утверждая, например, что множеством точек плоскости, равноудаленных от двух заданных точек A и B, является прямая, перпендикулярная к отрезку АВ и проходящая через его середину, необходимо доказать не только то, что каждая точка прямой l равноудалена от точек А и В, но и то, что любая точка, не принадлежащая прямой l, не находится на одинаковом расстоянии от заданных точек. Непонимание этого простого обстоятельства с неизбежностью приводит к ошибкам: к логической неполноценности решения, а в ряде случаев — к неверному результату.


В задачах на отыскание множества точек, обладающих заданным свойством, обычно получаются точки, прямые, отрезки, окружности или их дуги, многоугольники, круги, плоскости, сферы.


Формулировку задачи: «найти множество точек, обладающих заданным свойством» следует понимать в таком смысле: перечислить точки этого множества, если их конечное число, указать, каким прямым, отрезкам, окружностям, дугам окружностей, плоскостям, сферам принадлежат точки заданного множества.


Полезно знать множества точек на плоскости и в пространстве, обладающие простейшими и наиболее часто встречающимися свойствами.


Перечислим некоторые из таких множеств.


На плоскости:


Множеством точек, расстояние от которых до данноь точки О равно R, является окружность радиуса R с центром в точке О


Множеством точек, равноудаленных от двух данньк точек А к В, является прямая, перпендикулярная к отрезку АВ и проходящая через его середину.


Множеством точек, равноудаленных от двух данных пересекающихся прямых, является пара взаимно перпендикулярных прямых, делящих пополам углы между данными прямыми.


Множеством точек, равноудаленных от трех заданных точек, не лежащих на одной прямой, является точка — центр окружности, проходящей через данные точки.


В пространстве:


Множеством точек, расстояние от которых до данной точки О равно R, является сфера радиуса R с центром в точке О.


Множеством точек, равноудаленных от двух данных точек А и В, является плоскость, перпендикулярная отрезку АВ и проходящая через его середину.


Множеством точек, равноудаленных от двух данных пересекающихся плоскостей, является пара взаимно перпендикулярных плоскостей, делящих пополам двугранные углы между данными плоскостями.


Множеством точек, равноудаленных от трех заданных точек, не лежащих на одной прямой, является прямая, проводящая через центр окружности, проведенной через данные точки, и перпендикулярная плоскости, содержащей данные точки.


Применение метода координат


Для нахождения множества точек плоскости, обладающих заданным свойством, во многих случаях можно использовать метод координат. В простейших задачах в качестве искомых множеств получаются прямые, окружности, отрезки, дуги окружностей.


Применяя метод координат, можно получить их уравнения. Исследуя эти уравнения, можно узнать, что представляют собой сами множества.


Применение метода заключается в следующем. На плоскости выбираем некоторым образом систему кооодинат и пытаемся, прежде всего, установить, какому уравнению удовлетворяют координаты точки М (х; у), если эта точка обладает заданным свойством. Затем обязательно проверяем, будет ли каждая точка М (х; у), координаты которой удовлетворяют найденному уравнению, обладать заданным свойством.


Проделав все это, мы тем самым получим уравнение, которому удовлетворяют координаты тех и только тех точек плоскости, которые принадлежат искомому множеству.


По найденному уравнению определяем, что представляет собой искомое множество.


Задачи на построение


В задачах на построение требуется построить некоторую геометрическую фигуру (точку, прямую, окружность, треугольник) с помощью тех или иных чертежных инструментов: линейки, циркуля, угольника и других.


Чаще всего встречаются задачи, в которых разрешается использовать два инструмента: линейку и циркуль.


Под линейкой подразумевается инструмент, с помощью которого можно построить произвольную прямую, в частности прямую, проходящую через две данные точки.


Линейка считается безмасштабной и односторонней. Безмасштабность означает, что на линейке отсутствуют деления, и поэтому с ее помощью нельзя откладывать отрезки. Односторонность линейки означает, что нельзя использовать одновременно оба ее края, т, е. что с помощью такой линейки нельзя, например, провести две параллельные прямые. С помощью циркуля можно на данной прямой отложить любой данный отрезок, можно провести произвольную окружность или окружность, радиус которой равен длине заданного отрезка.


Не следует думать, что главное в задачах на построение — фактическое выполнение построения с использованием названных инструментов.


Главнее заключается в том, чтобы найти и описать последовательность действий, ведущих к построению нужной фигуры; доказать, что построенная фигура удовлетворяет всем условиям задачи;


выяснить, всегда ли построение можно осуществить; сколько существует решений, нет ли частных случаев, в которых построение упрощается, усложняется или делается невозможным.


Напомним несколько простейших построений, которые будут использоваться в дальнейшем в качестве отдельных составных шагов при решении более сложных задач.


Одним из методов решения задач на построение является метод множеств, обладающих заданным свойством.


Этот метод особенно удобен, когда требуется построить точку (или точки), удовлетворяющую нескольким условиям, или когда задача сводится к такому построению.


Другим распространенным методом решения задач на построение является метод подобия.


Во многих задачах часто бывает удобнее сначала построить фигуру, подобную искомой. Для этого часть требований, предъявляемых к фигуре, отбрасывается, так что остающимся условиям удовлетворяет бесчисленное множество фигур, подобных искомой. Из этого множества подобных фигур выделяется затем та фигура, которая удовлетворяет всем требованиям задачи. В этом и заключается идея метода.


Остановимся в заключение на методе симметрии.


Иногда удается существенно упростить задачу, заменив один из заданных элементов (точку, прямую, окружность) другим, симметрично расположенным относительно некоторой прямой.


Список рекомендуемой литературы:


1. ЕГЭ 2019. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов + 800 дополнительных заданий части 2. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


2. ЕГЭ 2019. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов заданий. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


3. ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗЫ. Под редакцией Г. Н. Яковлева - М: Наука, 1982