Четырехугольники. ЕГЭ. Планиметрия. Построение чертежа. Радиус окружности. Окружность, вписанная в треугольник. Треугольник. Прямой угол. Параллелограмм. Трапеция. Боковые стороны трапеции. Геометрия. Методы решения геометрических задач. Математика. Геометрические задачи. Вершина трапеции. Точка касания

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: ut2018@protonmail.com    
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии







ПЛАНИМЕТРИЯ. Построение чертежа. ЕГЭ


Решение любой геометрической задачи начинается с чертежа.


Умение построить хороший грамотный чертеж, помогающий решению задачи, является важнейшим элементом геометрической культуры.


Можно выделить некоторые, к сожалению, трудно формализуемые принципы, которыми следует руководствоваться при построении чертежа. (Подчеркнем, что речь идет о построении чертежа на этапе собственно решения задачи, а не об оформлении решения на чистовике.)


Прежде всего чертеж должен быть «большим и красивым».


Это вовсе не означает, что чертеж должен выполняться по всем правилам черчения, с использованием соответствующих инструментов.


При небольшом навыке чертеж может быть хорошо сделан и от руки.


Важнейшим требованием к чертежу является требование лаконичности.


Следует изображать лишь «функционирующие» части геометрических фигур. Так, например, если в задаче надо найти радиус окружности, вписанной в треугольник, то в большинстве случаев саму эту окружность не следует изображать. Если же в условии задачи фигурируют точки этой окружности, т. е. окружность «функционирует» в условии, то ее изображение может оказаться полезным для решения задачи.


При этом даже такой пустяк, как «что раньше изобразить: окружность или треугольник?», может существенно сказаться на качестве чертежа, а в результате — и нарешении. К сожалению, учебные пособия часто дают нам примеры чертежей, перегруженных ненужными деталями, служащих скорее иллюстрацией к задаче, чем элементом ее решения.


Не следует думать, что на начальном этапе решения задачи заканчиваются проблемы, связанные с построением чертежа.


Имеется немало задач, процесс решения которых состоит в последовательном уточнении особенностей рассматриваемой конфигурации с соответствующими переделками чертежа, так что окончательный вид чертеж принимает лишь одновременно с окончанием решения. В этом смысле в учебных пособиях иногда приводятся чертежи, построить которые можно, лишь полностью решив задачу. Полезно было бы давать не итоговый чертеж, а нечто вроде мультфильма, показывающего, как изменяется чертеж в процессе решения задачи, но эту идею трудно реализовать.


Необходимо избегать чрезмерного усложнения чертежа.


Этого можно добиться, в частности, за счет выносных картинок, изображающих фрагменты общей конфигурации.


С другой стороны,


стоит непосредственно на чертеже указывать числовые или буквенные значения линейных или угловых величин, заданных в условии или полученных (введенных) в процессе решения.


Говорят, что геометрия есть искусство правильно рассуждать на неправильном чертеже. В этих словах есть доля истины.


Очень часто решение задачи не зависит от числовых данных, указанных в условии.


Более того, формально логическая структура решения не должна опираться на чертеж; как говорят, решение не должно апеллировать к чертежу.


И все же легче и лучше правильно рассуждать на правильном чертеже, на котором прямой угол выглядит как прямой, соблюдены пропорции и соотношения, заданные в условии, и не приходится напрягать воображение, чтобы узнать в кособоком овале окружность.


Правильный чертеж поможет увидеть особенности геометрической фигуры, необходимые или полезные для решения задачи.


Например, может «подсказать», что какие-то точки расположены на одной прямой или одной окружности или что прямые пересекаются в одной точке. Конечно же эти особенности в дальнейшем должны быть обоснованы без ссылок на чертеж.


При этом иногда приходится делать два чертежа. Первый, правильный, с помощью которого можно сделать геометрические «открытия», и второй для проведения доказательства.


С другой стороны,


если в задаче идет речь о фигуре общего вида, например о произвольном треугольнике или четырехугольнике, то необходимо, чтобы фигура, изображенная на чертеже, не имела характерных особенностей, присущих «хорошим» фигурам;


в частности, треугольник не должен быть прямоугольным или равнобедренным, а тем более правильным, четырехугольник — быть похожим на параллелограмм и т. д.


Ограничимся пока общими рекомендациями по построению чертежа, поскольку уровень сложности задач, содержательно иллюстрирующих эту тему, превышает начальный. Кроме того,


умение строить нужный чертеж, понимание, где надо постараться и выполнить чертеж поточнее, а где можно обойтись не очень точной схематической картинкой, приходит с опытом.


В дальнейшем мы еще не раз будем возвращаться к этой теме и при этом рассмотрим отдельные специальные приемы, используемые при решении некоторых типов задач. Пока же главное — выработать некоторые минимальные практические навыки, а также привычку начинать решение любой геометрической задачи с чертежа.


Выявление характерных особенностей заданной конфигурации


В простейших случаях ход решения задачи виден сразу после ее прочтения или же построения чертежа.



Остается лишь реализовать это решение технически — произвести необходимые доказательства, сделать вычисления.


В других, более сложных случаях технической стадии предшествует несколько этапов, один из которых состоит в выявлении характерных особенностей конфигурации, рассматриваемой в задаче.


Эти особенности, в частности, могут быть следствием специального подбора числовых данных задачи. В этом, кстати, одна из причин, почему при построении чертежа надо стараться выдерживать заданные пропорции. При этом конечно же нельзя забывать о том, что выявленные особенности требуется строго доказать. Иногда для этого, как уже отмечалось, полезно сделать новый чертеж.


Вообще роль числовых данных в задаче может быть самой различной. В одних случаях задача не решается в общем виде, и лишь специальный выбор числовых данных делает ее корректной.


В других случаях специально подобранные числовые данные превращают достаточно сложную в общем виде задачу в существенно более простую.


мы использовали три характерных приема: провели через вершину трапеции прямую, параллельную другой боковой стороне', на втором чертеже продолжили до пересечения боковые стороны трапеции и не стали изображать саму окружность, а ограничились изображением ее центра, проекцией центра на одну боковую сторону и точки касания с другой стороной.


Эти приемы достаточно стандартны. Изучение этих и подобных приемов полезно проводить на простых модельных задачах, в которых наиболее выпукло «работает» один такой прием. Эти задачи мы также будем относить к категории опорных.


Конечно, числовые данные далеко не всегда играют столь существенную роль, как в рассмотренных примерах.


Нередки случаи, когда характерные особенности задачи инвариантны по отношению к числовым данным, конкретный набор которых имеет целью лишь облегчить вычисления, сделать ответ более «приятным».


Следует упомянуть также о категории задач, которые удобнее решать в общем виде, подставляя числа, если таковые имеются, в полученное в результате решения буквенное выражение.


Теоретическая часть школьного курса содержит в основном теоремы, которые будут необходимы в дальнейшем для развития этой теории. Из нее исключены многие факты, стоящие как бы сами по себе, не работающие на теорию. Но школьная геометрия — это не только аксиомы и теоремы, изложенные в учебнике. Школьная гео- метрия — это также (а может, и прежде всего) искусство решать геометрические задачи.


Искусство решать задачи основывается на хорошем знании теоретической части курса, знании достаточного количества геометрических фактов, не вошедших в этот курс, и владении определенным арсеналом приемов и методов решения геометрических задач.


Поэтому представляется полезным выделить некоторюе множество задач (будем называть их опорными), в которых формулируется некий факт, достаточно часто используемый в задачах, либо иллюстрируется какой-либо метод или прием решения задач. Соответственно, мы будем различать две разновидности опорных задач: задача-факт (задача-теорема) и задача-метод.


Список рекомендуемой литературы:


1. ЕГЭ 2019. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов + 800 дополнительных заданий части 2. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


2. ЕГЭ 2019. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов заданий. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


3. Математика для поступающих в вузы : учеб. пособие / И. Ф. Шарыгин. — 6-е изд., стереотип. — М. : Дрофа, 2006. — 479с.