Перпендикулярные и параллельные прямые. ЕГЭ. Математика. Геометрия. Система координат. Метод координат. Геометрическая задача. Теорема Пифагора. Теорема косинусов. Площадь фигуры. Метод поэтапного решения. Метод составления уравнений. Метод вспомогательной окружности. Площадь треугольника. Метод площадей

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: ut2018@protonmail.com    
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии







Геометрические методы решения задач. ЕГЭ


Говоря о методах решения задач,


следует отметить некоторые специфические особенности этих методов: большое разнообразие, взаимозаменяемость, трудность формального описания, отсутствие четких границ области применения.


Кроме того,


очень часто при решении некоторых достаточно сложных задач приходится прибегать к использованию комбинаций методов и приемов.


Уже на первом этапе решения — построение чертежа — можно говорить о наличии некоторых специальных приемов. С одним из таких приемов мы уже встречались при решении задач.


Суть его в том, что


при решении задач, в которых фигурирует одна или несколько окружностей, очень часто сами эти окружности следует изображать, с указанием их центров, точек касания или пересечения с прямыми и друг с другом и проведением соответствующих отрезков прямых.


Факт касания окружности с прямой означает равенство соответствующего угла 90°.


Касание окружностей друг с другом означает, что расстояние между их центрами равно сумме радиусов окружностей в случае внешнего касания и равно разности радиусов окружностей в случае касания внутреннего.


Такого рода чертежи без окружностей к задачам про окружности мы будем называть «скелетными».


Рассмотрим еще несколько методов решения геометрических задач.


Мы уже встречались в предыдущих пунктах с некоторыми стандартными дополнительными построениями.


Если же в условии задачи говорится о диагоналях трапеции, то стандартным будет дополнительное построение, состоящее в проведении через одну из ее вершин прямой, параллельной диагонали.


(С такого рода построением мы еще не встречались.) В задачах мы проводили через одну из вершин треугольника прямую, параллельную его противоположной стороне, благодаря чему у нас образовывалось несколько пар подобных треугольников, после чего отношения одних отрезков заменялись отношениями других.


С некоторой натяжкой можно говорить, что мы имели дело с одной из модификаций метода подобия. Отметим еще несколько стандартных приемов.


Если в условии есть медиана треугольника, то стоит попытаться продолжить эту медиану на такое же расстояние.


При этом получим параллелограмм, стороны и одна диагональ которого равны сторонам треугольника, а вторая диагональ равна удвоенной медиане. Таким образом, если бы нам требовалось найти площадь треугольника по двум сторонам и медиане, заключенной между ними, то с помощью только что указанного приема легко убедиться, что треугольник этот равновелик треугольнику, две стороны которого равны соответствующим сторонам исходного, а третья равна удвоенной медиане.


Совет, который можно дать на основании этой и сходных задач, состоит в следующем.


Если в условии задачи фигурирует середина одной или нескольких сторон четырехугольника, то стоит добавить середины каких-то других сторон или диагоналей и рассмотреть средние линии соответствующих треугольников.


Этот прием иногда называют методом «средней линии».


Таким образом, мы выделили три разновидности дополнительных построений: 1) продолжение отрезка (отрезков) на определенное расстояние или до пересечения с заданной прямой;


2) проведение прямой через две заданные точки;


3) проведение через заданную точку прямой, параллельной данной прямой, или перпендикулярной данной прямой.


Необходимость в использовании геометрических преобразований возникает, как правило, при решении достаточно сложных геометрических задач


(здесь речь идет, во-первых, о задачах, в условии которых геометрические преобразования не фигурируют, и, во-вторых, о задачах, которые трудно решить без использования геометрических преобразований); поэтому мы ограничимся одной иллюстрацией без каких-либо рекомендаций.


Метод площадей имеет много разновидностей.


Рассмотрим одну из них.


Основная идея сводится к замене отношения отрезков, расположенных на одной прямой, отношением площадей треугольников с общей вершиной, основаниями которых являются рассматриваемые отрезки.


Относя этот прием к геометрическим, мы делаем довольно серьезную натяжку. Доводы «за» следующие. Во-первых, в основе метода лежит чисто геометрическое соображение. Во-вторых, этот метод достаточно обособлен от других, как геометрических, так и алгебраических. Учитывая же разнообразие и пестроту методов, рассматриваемых в этом пункте, и, наоборот, некоторое единообразие методов, описываемых в следующих пунктах, мы предпочли рассмотреть его именно здесь.


Одним из наиболее красивых элементарно-геометрических методов является так называемый метод «вспомогательной окружности».


Все основывается на умении увидеть и сопоставить простые геометрические факты. Пример этот приведен не для того, чтобы задать верхний уровень задач, рассматриваемых в пособии.


Не всякий, даже опытный, хорошо решающий геометрические задачи человек найдет подобное решение.


Этой задачей мы хотели бы подчеркнуть одну из важнейших целей геометрической подготовки — развитие геометрической интуиции, геометрического мышления, геометрического зрения.


Аналитические методы


Один из недостатков элементарно-геометрических методов состоит в необходимости зачастую перебора различных вариантов расположения точек, прямых и т. д. Этотнедостаток, как правило, исчезает при переходе к алгебраическим методам, методу координат, векторному методу. Хотя очень часто при этом исчезает и сама геометрия.


Говоря об алгебраическом методе решения геометрических задач, выделим прежде всего две его разновидности: а) метод поэтапного решения; б) метод составления уравнений.


Сущность первого (метода поэтапного решения) коротко состоит в следующем.


Величины, заданные в условии задачи, и те, которые нужно найти, мы связываем цепочкой промежуточных величин, каждая из которых последовательно определяется через предыдущие.


Полезно при этом сначала составить план решения задачи, другими словами, выписать цепочку элементов, которые можно последовательно вычислить, соединяющую то, что дано, и то, что нужно найти.


При решении более сложных задач не всегда возможно увидеть весь путь решения от начала до конца. Поэтому поиск этого пути можно вести с двух сторон — с начала (что можем найти?) и с конца (что нужно найти?). Правда, как правило, с конца делается небольшое число шагов — один, два.


Например, если требуется найти радиус окружности, описанной около какого-либо треугольника, то задача будет решена, если мы найдем какую-либо его сторону и синус противолежащего угла.


Бывают и такие ситуации, когда конфигурация, данная в задаче, не определена. В этих случаях можно, введя необходимое число дополнительных элементов, доопределяющих конфигурацию, попытаться реализовать схему поэтапного решения. При этом введенные параметры должны в итоге сократиться.


Говоря о решении геометрических задач при помощи составления уравнений, можно в известной мере провести аналогию с текстовыми задачами на составление уравнений.


(Аналогия для поэтапного решения — арифметические задачи, решаемые по действиям.) Так же как и там,


не следует бояться числа неизвестных, хотя дать четкие рекомендации по их рациональному и тем более оптимальному выбору вряд ли возможно.


Очень часто при выборе неизвестных следует руководствоваться правилом: неизвестные должны полностью определять рассматриваемую в задаче геометрическую фигуру.


Так же как и там, надо посмотреть, что нужно найти, и искать именно это, а не стремиться всякий раз к полному решению полученной системы уравнений. Так же как и там, приведенные только что рекомендации — рекомендации, и ничего больше.


Для получения уравнения обычно величину какого- либо элемента конфигурации — угол или его тригонометрическую функцию, длину отрезка, площадь фигуры — выражают дважды различными способами через введенные неизвестные. В частности, она может быть задана в условии задачи.


Противопоставляя друг другу два алгебраических метода, оговоримся, что далеко не всегда их можно выделить, так сказать, в чистом виде. Так, например, в любом решении задачи на вычисление присутствуют элементы поэтапного решения.


С другой стороны, вполне возможны случаи, когда составление уравнения является лишь частью общего решения задачи. Кроме того, как правило, в алгебраических решениях встречаются различные дополнительные построения, элементы геометрических методов.


Заметим, что использование теоремы косинусов или ее частного случая — теоремы Пифагора — для составления уравнений — один из наиболее часто встречающихся приемов.


Важную роль играет также правильный выбор неизвестных.


Следует отметить, что многие задачи, решаемые алгебраическим методом, могут иметь два варианта решения — поэтапный и составлением уравнений.


Исследование, анализ решения, рассмотрение различных случаев, необходимость которых возникла в этой задаче, существенно повысили уровень ее сложности. Один из выводов состоит в том, что, окончив решение, получив ответ, не спешите, подумайте, не упущены ли какие-то случаи, нюансы и т. д. Обратим внимание также на некоторую некорректность, содержащуюся в формулировке условия задачи. Под расстоянием от точки до стороны угла и проекцией на сторону понимается соответственно расстояние от точки до прямой, на которой лежит эта сторона угла, и проекция на эту прямую, что не является само собой разумеющимся.


Можно заметить, что почти во всех примерах делались некоторые дополнительные построения, использовался ряд геометрических соображений.


Итак, решая геометрическую задачу алгебраическим методом, все же не следует забывать, что это задача по геометрии, а не по алгебре.


Старайтесь не проходить мимо простейших геометрических фактов, упрощающих решение. В противном случае вы можете превратить пустяковую геометрическую задачу в чрезвычайно сложную алгебраическую


что нередко происходит не только со школьниками, но и с более опытными людьми.


Метод координат. Векторный метод


Метод координат является самым универсальным методом геометрии.


Бытует расхожее мнение, что любая геометрическая задача может быть решена методом координат. В принципе это верно, так же верно


как и то, что человек может все. Однако школьный курс и практика вступительных экзаменов дают не так много примеров задач, в которых метод координат предпочтительнее иных методов.


Разумеется, речь идет о тех задачах, условие которых не содержит упоминания о координатах.


Главное при решении геометрических задач координатным методом — удачный выбор системы координат: выбор начала координат и направления осей.


Обычно в качестве осей координат выбираются прямые, фигурирующие в условии задачи, а также оси симметрии (если таковые имеются) фигур, рассматриваемых в задаче.


Можно сказать, что желательно, чтобы система координат естественным образом определялась условием задачи.


Подводя итог нашему небольшому обзору методов решения и методов поиска решения геометрических задач, заметим, что не все этапы в равной степени обязательно присутствуют в решении любой задачи.


Мы видели примеры, показывающие, что не всегда приходится выявлять характерные особенности конфигурации и, наоборот, некоторые решения одним этим этапом, по сути, и исчерпывались. Отдельно следует сказать об анализе полученного решения. В полной мере этот анализ мы были вынуждены проделать лишь в одной задаче.


Как показывает пример этой задачи, основная функция анализа — контроль правильности полученного решения, выявление других возможностей, отличных от рассмотренных, оценка полноты решения.


Иногда в ходе анализа необходимо провести исследование, существует ли полученная конфигурация, не относится ли она к разряду невозможных, при каких условиях возможно ее существование. Возникает вопрос: всегда ли подобное исследование нужно делать? Все зависит от конкретной задачи. Чтобы не вдаваться в детали, не рассматривать различные примеры, дадим следующий совет: ученику не следует делать больше того, чем это требуется по условию задачи. И еще одно, последнее замечание. Каждая из рассмотренных нами задач, как правило, сопровождалась лишь одним решением, иллюстрировавшим тот или иной прием, тот или иной метод решения. Возможно, что при этом предлагался для данной конкретной задачи не самый лучший метод.


Бесспорно,


изучение методов решения геометрических задач будет более эффективным, если рассматривать на примере одной задачи возможности использования различных геометрических и алгебраических методов.


Список рекомендуемой литературы:


1. ЕГЭ 2019. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов + 800 дополнительных заданий части 2. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


2. ЕГЭ 2019. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов заданий. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


3. Математика для поступающих в вузы : учеб. пособие / И. Ф. Шарыгин. — 6-е изд., стереотип. — М. : Дрофа, 2006. — 479с.