Прямые и плоскости в пространстве. ЕГЭ. Методы решения геометрических задач. Выпуклые многоугольники. Геометрическое место точек. Плоскость. Прямая. Чертеж в геометрической задаче. Стереометрия. Окружность, круг, пирамида, конус, шар, коническая поверхность, сфера, призма. Планиметрия. Правильная треугольная пирамида

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: ut2018@protonmail.com    
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии







Прямые и плоскости в пространстве. ЕГЭ


Опыт экзаменов ЕГЭ показывает, что некоторые разделы теоретического курса геометрии и многие существенные моменты решения геометрических задач вызывают у поступающих серьезные трудности прежде всего из-за того, что требуют четкости в рассуждениях, понимания логических аспектов различных вопросов.


Ниже мы остановимся подробно на таких, в определенном смысле центральных, вопросах курса элементарной геометрии. При этом предполагается, что материал программы приемных экзаменов уже известен в объеме школьных учебников.


Методы решения геометрических задач можно чисто условно разбить на две группы: геометрические и аналитические.


Геометрические методы обычно связаны с использованием некоторого специфического свойства рассматриваемой конфигурации, с умением «увидеть» удачное дополнительное построение.


Аналитические методы, как правило, состоят в составлении определенных соотношении и их дальнейшем исследовании методами алгебры и тригонометрии.


Первый раздел стереометрии, посвященный прямым и плоскостям в пространстве, хотя и не сложен, но очень насыщен определениями. Теоремы, доказываемые здесь, просты, но требуют умение логически строго выводить утверждения из аксиом и определений. Необходимые замечания, касающиеся основных понятий стереометрии рассмотрены.


Традиционными на экзаменах ЕГЭ, являются, задачи, в которых рассматриваются вписанные в многогранника и описанные около них шары или иные комбинации тел в пространстве.


Такие задачи и связанные с ними теоретические вопросы рассмотрены. Наконец, разбираются общие методы построения, сечений многогранников плоскостями, позволяющие определять форму сечения и решать различные задачи, в которых речь идет о таких сечениях.


В настоящем параграфе мы сделаем отдельные замечания общего характера по ряду разделов геометрии, а также разберем некоторые задачи,


Определения и теоремы


Поступающие недолюбливают геометрию из-за того, что она представляется им необъятным набором определений и теорем, которые надо заучивать.


Поэтому многие из них пытаются одолеть геометрию только памятью, зазубривая все, вплоть до обозначений. Между тем геометрические понятия и факты, если в них по-настоящему вникнуть, являются наглядными и естественными.


Некоторые думают, что формулировки геометрических утверждений требуется знать обязательно «слово в слово по книжке». Это не так. Поступающий должен давать на экзамене точную, четкую и правильную формулировку — пусть даже и иную, чем в учебнике.


Хорошо известно, что многие теоремы курса допускают несколько разных доказательств. Доказательства теорем на экзамене можно приводить любые, лишь бы они были правильными.


Поэтому необходимо заранее выбрать и тщательно разобрать то доказательство каждой теоремы, которое кажется наиболее понятным. Необходимо только следить за тем, чтобы при доказательстве некоторой теоремы мы не опирались на другую, получающуюся в свою очередь с использованием доказываемой. Ясно, что такой «логический круг» в рассуждениях недопустим.


Следует особо подчеркнуть, что все доказательства должны быть исчерпывающими. В частности, все вспомогательные теоремы или леммы, на которые в процессе доказательства даются ссылки, должны быть четко сформулированы и при необходимости доказаны.


Иногда поступающие пытаются пропустить тот или иной этап доказательства, оперируя такими выражениями, как «очевидно», «совершенно ясно» и т. д.


Но надо быть готовым к тому, что экзаменатор после любой такой ссылка на «очевидность» может задать вопрос: «Почему?» Следовательно, при разборе доказательств необходимо стремиться к полному уяснению каждого утверждения, каждого шага в рассуждении. Очень хорошо, если поступающий сам для себя в период подготовки к экзаменам будет доказывать теоремы, почаще задавая вопрос: «Почему? Откуда это следует?», не оставляя неясным ни одного этапа доказательства и не принимая на веру ни одного утверждения.


Изучая геометрию, не нужно забывать, что все, даже самые простые понятия (кроме, разумеется, таких, как точка, прямая, плоскость) имеют определения.


Иначе на экзамене будут доставлять неприятности такие «коварные» вопросы, как: «Что такое прямой угол?», «Почему через две параллельные прямые в пространстве можно провести плоскость?» и т. п.


Вообще на определения следует обратить особое внимание, так как практика экзаменов ЕГЭ показывает, что в ряде случаев поступающие просто подменяют определения соответствующими геометрическими образами.


Например, все прекрасно представляют себе зрительно, что такое окружность, круг, пирамида, конус, шар, коническая поверхность, сфера и т. д., но далеко не каждый может дать правильные определения этих понятий.


Остановимся для примера на призме. Несомненно, что каждый имеет достаточное для решения задач геометрическое представление об этом объекте.


Однако определение призмы, которое обычно дают поступающие, не соответствует геометрическому образу. Согласно этому определению «призмой называется многогранник, у которого две грани — равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами, а все остальные грани — параллелограммы». Во-первых, многие, повторяя указанное определение, забывают, что имеется в виду выпуклый многогранник. Во-вторых, выпуклый многогранник, тоже подходит под это определение (он называется ромбическим додекаэдром; все его грани — равные ромбы, плоскости противоположных граней параллельны, ребра противоположных граней ственно параллельны).


Но этот, многогранник не соответствует геометрическому представлению о призме, не говоря уже о том, что формулы для поверхности и объема, которые доказываются в учебнике для призмы, для него неверны.


Дело в том, что при доказательстве этих формул подразумевается, что призма имеет именно такой вид, как мы себе представляем его геометрически. Поэтому и определение нужно давать соответствующее.


Это можно сделать разными способами. Например:


призмой называется выпуклый многогранник, у которого две грани — равные выпуклые многоугольники с соответственно параллельными сторонами, а ребра, соединяющие соответствующие вершины этих многоугольников, равны и параллельны.


Другое определение призмы можно дать, используя понятие цилиндрической поверхности: призмой называется тело, ограниченное цилиндрической поверхностью, направляющей которой является выпуклый многоугольник, и, двумя параллельными между собой секущими плоскостями, не параллельными образующей.


Отметим, что фигурирующий в приведенных определениях многоугольник можно считать и невыпуклым, но без самопересечений. Тогда, разумеется, получится невыпуклый многогранник. Однако и этот многогранник вполне соответствует геометрическому представлению о призме и для него также справедливы все те формулы, которые выводятся в учебнике.


Между прочим, определение пирамиды тоже можно дать иначе, чем в учебнике, — используя понятие конической поверхности.


Наконец, сделаем два замечания о терминологии. В учебнике дано определение шара и шаровой (или сферической) поверхности. Эту последнюю называют сферой. Таким образом,


сфера — это геометрическое место точек пространства, равноудаленных от одной и той же фиксированной точки.


Иногда возникает разночтение термина тетраэдр.


В учебнике тетраэдром называется произвольная треугольная пирамида. Однако несколько позже этот же термин употребляется и для правильного четырехгранника, поверхность которого составлена из четырех правильных треугольников.


Для того чтобы избежать недоразумений, четырехгранник, поверхность которого составлена из четырех правильных треугольников, называют правильным тетраэдром.


Многие поступающие неправильно понимают аксиому о параллельных прямых.


Например, часто приходится слышать ее в такой формулировке: «Через трчку, лежащую вне прямой, можно провести прямую, параллельную данной прямой, и притом только одну». В такой формулировке аксиома содержит два утверждения: первое — о существовании параллельной прямой, и второе — о ее единственности.


Однако всем хорошо известна задача на построение на плоскости: «Через точку, лежащую вне прямой, провести прямую, параллельную данной прямой».


В этой задаче дается метод построения такой прямой, откуда, конечно, следует ее существование. При этом доказательство правильности построения, т. е. того факта, что построенная прямая действительно параллельна данной, пе опирается на аксиому о параллельных прямых — используются только третий признак равенства треугольников и признак параллельности прямых по накрест лежащим углам, а оба эти утверждения доказываются до формулировки аксиомы о параллельных.


Но раз прямую, параллельную данной и проходящую через точку, лежащую вне данной прямой, провести можно (и даже с помощью только циркуля и линейки), то зачем же требовать ее существования в аксиоме?


На самом деле аксиома о параллельных прямых содержит только одно утверждение: через точку вне прямой нельзя провести двух прямых, параллельных данной прямой.


Иногда эту аксиому формулируют так: «через точку, взятую вне данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную этой прямой».


Эта формулировка несколько расплывчата, ее можно понять двояким образом: и неправильно — как два утверждения (во-первых, что можно провести такую прямую, во-вторых, что такая прямая только одна), и правильно — как одно утверждение (что нельзя провести двух прямых, параллельных данной). В математике такие формулировки иногда действительно встречаются, но, как правило, по-нимаюгся только в последнем смысле.


Однако лучше все же этой расплывчатости избегать и давать формулировки, не допускающие различных толкований. Прежде чем приступить к изучению вопросов, связанных с длиной окружности, площадью круга, поверхнкостями и объемами круглых тел, необходимо тщательно разобрать понятие предела последовательности.


Многие поступающие не понимают разницы между вопросами: «Что такое площадь круга?» и «Чему равна площадь круга?», «Что такое объем конуса?» и «Чему равен объем конуса?» и т, д. Например, на вопрос: «Что такое длина окружности?» часто дается такой ответ:


«Длина окружности — это число 2πR, где π = 3,14..., a R— радиус окружности».


На самом деле длина окружности определяется как предел последовательности периметров правильных вписанных в окружность многоугольников при неограниченном удвоении числа сторон, а формула С = 2πR, дающая численную величину длины окружности, представляет собой теорему.


Все сказанное справедливо и для площади круга, поверхности конуса и т. д.


При доказательстве различных геометрических теорем и формул полезно широко использовать тригонометрию и алгебраические методы. Именно тригонометрическая форма многих геометрических утверждений (теорема синусов, теорема косинусов, формула для площади треугольника делает их доказательство проще и оказывается более удобной при решении задач: именно тригонометрические функции позволяют записать многие геометрические факты просто и с достаточной общностью, что подчас невозможно сделать на «чисто геометрическом языке».


Например,


с помощью тригонометрических функций легко выразить сторону правильного п-угольника через радиус г вписанной или радиус R описанной окружности.


Поступающие иногда пытаются обосновывать стереометрические факты ссылками на аналогичные утверждения из планиметрии.


Например, теорему: если из некоторой точки вне шара провести касательные к нему, то отрезки каждой из касательных от этой точки до точки касания равны между собой — часто считают справедливой просто потому, что «на плоскости аналогичное свойство касательных имеет место».


Однако аналогия между «плоскостным» и «пространственным» утверждениями не может рассматриваться как доказательство; каждое «пространственное» утверждение должно строго обосновываться. В частности, и сформулированное выше свойство касательных к шару требует специального доказательства.


Следует помнить, что аналогия между планиметрическими и стереометрическими утверждениями может приводить и к ошибочным выводам.


Как известно, в плоскости два острых угла с соответственно перпендикулярными сторонами равны между собой. Но будут ли равны между собой два расположенных в пространстве плоских острых угла с соответственно перпендикулярными сторонами? Легко построить пример, показывающий, что такие углы не обязаны быть равными.


При решении различных задач часто оказывается полезным использование того или иного геометрического места точек.


Как известно, геометрическим местом точек называют совокупность всех тех точек (плоскости или пространства), которые обладают некоторым заданным свойством.


Поступающие должны твердо знать основные геометрические места точек: геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки, от концов данного отрезка, от сторон данного угла и т. д.


Упомянем еще одно геометрическое место точек на плоскости — совокупность точек, из которых данный отрезок виден под данным углом. Используя свойство вписанных углов, нетрудно убедиться, чтo это геометрическое место состоит из дуг двух окружностей (исключая концы дуг), проходящих через концы данного отрезка, центры которых лежат по разные стороны от отрезка, а радиус одинаков.


В дальнейшем нам потребуются два важных геометрических места точек в пространстве.


Геометрическое место точек пространства, равноудаленных от двух данных точек, есть плоскость, перпендикулярная к отрезку, соединяющему данные точки, и проходящая через его середину.


Доказательство этого утверждения достаточно очевидно.


Геометрическое место точек пространства, равноудаленных от граней двугранного угла, есть плоскость, делящая этот двугранный угол на два равных между собой двугранных угла.


Такая плоскость, по аналогии с биссектрисой плоского угла, называется биссектральной плоскостью двугранного угла.


Чертеж в геометрической задаче


На чертеж и его роль в решении геометрической задачи поступающие смотрят по-разному. Одни думают, что чертеж вообще не нужен, и потому выполняют его подчеркнуто небрежно, а рассуждения пытаются проводить без всяких ссылок на него. Другие, наоборот, считают чертеж главным элементом решения и даже не находят нужным как-либо обосновывать то, что «очевидно из чертежа».


Обе эти крайние точки зрения нелепы.


Разумеется, никакой чертеж, даже самый аккуратный, выполненный с помощью циркуля и линейки, не может заменить собой доказательства геометрического факта, ибо в окончательном решении чертеж является лишь иллюстрацией к рассуждениям.


Аргументы типа «из чертежа видно, что...», которые, к сожалению, часто встречаются в работах поступающих, считаются в математике логически неполноценными.


Любой геометрический факт, который мы «увидели» из чертежа, необходимо строго обосновать — только тогда мы можем быть уверены, что этот факт действительно имеет место, а не является результатом верного (или, еще хуже, неверного) выполнения рисунка.


Однако наглядный чертеж — хороший помощник при решении задачи: именно он может подсказать идею необходимых рассуждений и вычислений, натолкнуть на мысль использовать ту или иную теорему курса, сделать удачное дополнительное построение.


Поэтому всегда следует стараться рисовать чертежи тщательно и аккуратно, делать их достаточно просторными и понятными.


Особенно это относится к стереометрическим задачам.


Как известно, плоское изображение пространственных конфигураций всегда возможно лишь с искажениями, и потому чертеж такой конфигурации

необходимо еще правильно понимать.


Надо помнить, что равные отрезки часто выглядят как неравные, прямые углы превращаются в острые или тупые, скрещивающиеся прямые изображаются как пересекающиеся и т. п.


В то же время на плоском чертеже сохраняются такие детали пространственной конфигурации, как параллельность прямых или факт их пересечения, отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой, касание прямой и окружности (которая, впрочем, превращается в эллипс) и др.


Например, при изображении куба его оснозания выглядят не как квадраты, а как параллелограммы с разными сторонами, однако центру квадрата соответствует точка пересечения диагоналей параллелограмма; при изображении высоты правильной треугольной пирамиды соответствующий отрезок пересекает одну из нарисованных сторон основания пирамиды, но его нужно проводить через точку пересечения медиан основания и т. д.


Наконец, напомним, что все обозначения чертежа должны быть объяснены в тексте решения и, естественно, должны совпадать с теми обозначениями, которые используются затем в рассуждениях.


При построении чертежа часто бывает полезно рисовать не примерный эскиз, дающий общее представление о данной геометрической конфигурации, а стремиться именно конструировать чертеж, опираясь на известные геометрические факты.


При таком подходе к построению чертежа легче увидеть те идеи, на которых можно «сыграть» в решении.


Подобная ситуация с чертежом является в геометрических задачах типичной.


Практически никогда, приступая к решению, мы не в состоянии построить чертеж, абсолютно точно отображающий всю специфику конфигурации, о которой идет речь в условии, — многие ее особенности бывают завуалированы и вскрываются только в ходе рассуждений.


Поэтому важно уметь прежде всего выявлять геометрические свойства, существенные в рассматриваемой задаче.


Это требует особого внимания и осторожности, поскольку


с первого взгляда далеко не всегда очевидно, какие именно особенности конфигурации окажутся существенными и в какой мере допустимо несоответствие между данной конфигурацией а чертежом.


Разумеется, если в процессе решения выясняется, что чертеж явно не соответствует данным задачи, его следует заменить на правильный.


Например, в следующей задаче даже развитое воображение не может помочь сразу выполнить чертеж, точно отражающий существенные особенности конфигурации.


Иногда само условие задачи умышленно бывает сформулировано несколько неопределенно — так, что оно допускает геометрически существенно различные чертежи и непосредственно по исходным данным не ясно, какая именно из конфигураций имеется в виду.


В таком случае необходимо изобразить все возможности, формально отвечающие описанной в условии ситуации, а затем, проводя рассуждения параллельно по этим чертежам, «расшифровать» истинную геометрическую конфигурацию.


Однако в некоторых задачах дело обстоит не столь просто — нужно проявить достаточную осмотрительность при выполнении чертежа и обладать определенным геометрическим воображением, чтобы «увидеть» все конфигурации, которые следует рассмотреть.


Широко распространенным недостатком подготовки поступающих является отсутствие привычки активно работать с чертежом.


Построив чертеж, многие не пытаются выявить специфические особенности геометрической конфигурации, найти дополнительные построения, ведущие к цели.


Между тем


довольно часто удачное дополнительное построение позволяет свести решение задачи буквально к нескольким строчкам, в то время как непосредственный вычислительный путь решения подчас связан со значительными техническими трудностями.


Конечно, любое правильное, математически грамотно изложенное решение совершенно законно, независимо от того, длинное оно или короткое.


Более того, в условиях экзамена, когда время, предоставленное на решение, ограничено, не следует очень долго искать «изящное» решение, которого, возможно, вообще нет — лучше осуществлять ту идею, которая возникла, не задумываясь об иных возможностях, и довести до конца пусть длинное, но надежное решение.


Надо признать, однако, что изящное решение, занимающее лишь несколько строк, показывает не только знания, но и высокое геометрическое «чутье» поступающего, его наблюдательность.


Дать общие рекомендации, когда и какие дополнительные построения следует делать, разумеется, нельзя — их можно научиться «видеть», только получив достаточную практику в решении задач.


Именно поэтому при подготовке к экзаменам на отыскание геометрических подходов к решению задач необходимо обратить особое внимание.



Список рекомендуемой литературы:


1. ЕГЭ 2019. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов + 800 дополнительных заданий части 2. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


2. ЕГЭ 2019. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов заданий. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


3. Г.В.Дорофеев, М.К.Потапов, Н.Х.Розов ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗЫ (избранные вопросы элементарной математики). - М:Наука, 1975