Многогранники: призма, пирамида. ЕГЭ. Геометрия. Планиметрическая задача. Чертеж. Геометрические задачи. Теоремы геометрии. Аксиомы геометрии. Геометрические доказательства. Задачи на вычисление. Задачи на доказательство. Объем треугольной пирамиды. Основание пирамиды. Высота пирамиды. Площадь основания пирамиды

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: ut2018@protonmail.com    
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии







Доказательства в геометрии. ЕГЭ


Опыт экзаменов ЕГЭ показывает, что геометрические доказательства вызывают наибольшие трудности у поступающих.


Задачи на доказательство считаются обычно весьма сложными, более трудными, чем задачи на вычисление.


Геометрические доказательства трудны прежде всего потому, что требуют умения логически рассуждать и точно выражать свои мысли, требуют ясного понимания, что дано и что требуется доказать.


Именно отсутствие навыка в проведении логических умозаключений и объясняет многочисленные ошибки в решении задач на доказательство.


Читая «доказательства» в работах поступающих, убеждаешься, что у многих имеется весьма смутное представление о том, что значит доказать тот или иной факт.


Умение мыслить логично, строго обосновать геометрические факты можно выработать в себе только практикой, упражняясь в решении достаточного числа задач.


Невозможно дать общий рецепт, как найти доказательство того или иного утверждения, как решать конкретную задачу на доказательство. Не ставя перед собой цели продемонстрировать все возможные методы доказательств и перечислить все встречающиеся ошибки, мы приведем лишь некоторые примеры рассуждений и остановимся на нескольких наиболее типичных недостатках, характерных для поступающих.


Приступая к доказательству некоторого геометрического факта, к решению задачи на доказательство,


нужно прежде всего найти ту идею, на использовании которой удается построить строгое обоснование интересующего нас утверждения.


Для этого


необходимо проявить определенную изобретательность: подметить некоторые специфические свойства рассматриваемой геометрической конфигурации, отыскать различные дополнительные построения, «увидеть» применимость каких-либо известных теорем, провести нужные вычисления.


Разумеется, не следует переоценивать изобретательность, необходимую для проведения геометрических доказательств в экзаменационных задачах, — она посильна каждому, кто твердо усвоил школьную программу.


Поиск решения, конечно, не надо излагать в чистовом решении.


Последнее должно представлять собой только строгое доказательство, в котором совсем не важно, каким образом мы догадались проводить рассуждения именно так, а не иначе.


Но зато в чистовом решении требуется исчерпывающе логически правильно обосновать все рассуждения.



Стереометрические задачи на доказательство вызывают у поступающих особые трудности, объясняющиеся прежде всего необходимостыо хорошо представлять себе пространственные конфигурации, которые часто довольно сложно изобразить на плоском чертеже.


В этих задачах особенно трудно «увидеть» полезное дополнительное построение, приводящее к решению.


Наиболее типичная ошибка поступающих — неполнота и недостаточная логическая обоснованность доказательств.


Они часто доказывают меньше, чем требуется, делают выводы без достаточных на то основами.


Именно этчм недостатком отличались многие решения следующей задачи.


Каждый из интересующих нас геометрических фактов нужно тщательно доказывать, проводя необходимые дополнительные построения и используя теоремы из курса геометрии.


Без такого доказательства ни один из этих фактов не может считаться установленным логически строго, и потому решение задачи, не содержащее этих обоснований, нельзя признать исчерпывающим.


Многих интересует вопрос: нужно ли приводить полностью формулировки используемых при доказательстве теорем и аксиом?


Дело поступающего — писать всю формулировку необходимой для рассуждений теоремы или давать лишь краткую ссылку на нее.


Важно только, чтобы геометрические факты, утверждения и построения были ясно описаны и убедительно обоснованы.


Говоря о необходимости давать логически строгие доказательства геометрических утверждений, нельзя не отметить, что


поступающие часто вместо строгого обоснования того или иного факта употребляют выражения «совершенно очевидно из чертежа», «непосредственно из чертежа ясно» и т. п.


Следует помнить, что геометрическое доказательство должно выводить требуемый факт не из «наглядности», которая к тому же часто бывает иллюзорной, а из аксиом геометрии, определений и известных теорем школьного курса.


При проведении геометрических доказательств поступающие часто подменяют прямое утверждение обратным к нему.


Пусть, например, в ходе рассуждений необходимо обосновать некоторый факт, т. е. доказать теорему (или сослаться на соответствующую теорему школьного курса), утверждающую справедливость интересующего нас факта, исходя из того, что нам дано или уже известно.


Однако часто вместо этой прямой теоремы дается ссылка на обратное утверждение, т. е. на утверждение, справедливое в предположении, что интересующий нас факт имеет место.


Ясно, что это — грубая логическая ошибка; при таком способе рассуждений интересующий нас факт не может считаться доказанным. Корни этой ошибки, повидимому, лежат в нечетком понимании того, что на каждом этапе проводимого доказательства дано, а что требуется обосновать.


Поэтому если в ходе доказательства возникает необходимость сослаться на то или иное утверждение, рекомендуется вспомнить точную его формулировку и убедиться, что предположения, при которых это утверждение доказано, действительно выполнены.


Особо следует остановиться на так называемых вычислительных геометрических задачах. Обычно поступающие считают, что в таких задачах «самое главное— получить правильный ответ», и, как правило, они успешно справляются с той частью решения, которая касается вычисления (даже довольно кропотливого) искомой величины. Однако многие оставляют без внимания другую, пожалуй, более ответственную и важную часть решения — не считают нужным (или просто не понимают, что это нужно) обосновать законность выкладок, т. е. доказать те геометрические факты, на которых основаны вычисления.


Более того,


нередко случается, что поступающий, свободно оперирующий разными формулами, оказывается совершенно беспомощным, когда речь заходит о строгом обосновании какого-либо используемого при вычислениях утверждения геометрического характера.


Между тем доказательство геометрических фактов, которые используются при вычислениях, является неотъемлемой и принципиально важной частью решения вычислительной задачи. Почему в данной конкретной пирамиде, о которой идет речь в задаче, центр вписанного шара лежит на высоте? Почему данная прямая перпендикулярна к построенной плоскости? Почему рассматриваемая сфера касается данной плоскости именно в указанной точке? Все подобные утверждения, используемые при решении вычислительной задачи, должны быть не только сформулированы, но и доказаны.


Вообще, само разделение геометрических задач на «задачи на вычисление» и «задачи на доказательство» чисто условно.


Из приведенных выше примеров видно, что доказать необходимое удается подчас, лишь проведя некоторые вычисления. С другой стороны, существует много вычислительных задач, при решении которых центральное место занимают, однако, не выкладки, а доказательство некоторого факта.


Но в действительности нет никакой чисто физической возможности обосновать абсолютно все утверждения.


Кроме того, многие из геометрических утверждений по существу и не могут быть строго доказаны без предварительного построения полной системы аксиом геометрии (что в школе не делается).


Поэтому от поступающего требуется уметь выделять в каждой задаче основные, узловые утверждения и аккуратно их доказывать.


Геометрическое воображение


Особые затруднения вызывают у поступающих геометрические задачи, в которых требуется не просто использовать какую-либо формулу или обосновать некоторый факт, а хорошо представлять себе нужные геометрические конфигурации.


Наглядное геометрическое представление развивается постепенно, в результате постоянной тренировки.


Необходимо всегда хорошо, «с разных точек зрения» представлять себе тела и фигуры, о которых идет речь в задаче, правильно и аккуратно выполнять чертеж.


Конечно, в приведенных неверных решениях ошибки произошли кз-за неправильного понимания чертежа, из-за недостаточного геометрического воображения.


Однако этих ошибок удалось бы избежать, если бы поступающие не просто использовали факт, «видный» им из чертежа (но в действительности неверный), а пытались бы его и строго обосновать. Тогда сразу можно было бы убедиться в том, что этот факт места не имеет.


Следует подчеркнуть, что


хорошее пространственное воображение неотделимо от полного логического доказательства всех геометрических фактов, на которые мы опираемся в ходе решения.


Как бы ясно мы ни «видели» пространственную конфигурацию, как бы аккуратно и наглядно ни был выполнен чертеж, следует строго доказывать все утверждения, даже кажущиеся «очевидными» из чертежа.


Образно говоря,


геометрическое воображение подсказывает нам путь решения, позволяет набросать «черновик» решения, где мы следуем лишь нашей интуиции, пытаясь только проверить, придем ли мы к желаемому результату.


Но затем необходимо дать «чистовое» решение, в котором интуитивные, нестрогие соображения и догадки заменяются строгими доказательствами.


Для нахождения объема треугольной пирамиды прежде всего надо решить, какую грань принять за основание пирамиды, с тем чтобы как можно проще вычислить площадь основания и высоту пирамиды, опущенную на плоскость этого основания.


Не следует, однако, думать, что геометрическое воображение нужно только в стереометрии.


В планиметрической задаче самое главное — правильно представить себе чертеж, рассмотреть я объяснить все возможные случаи.


В геометрических задачах иногда бывает полезно попытаться деформировать заданную конфигурацию так, чтобы она стала более простой, но чтобы искомый элемент при этом не изменялся.


Именно такой подход, требующий хорошего геометрического воображения, позволяет нащупать ход решения в задаче.


Геометрическое воображение часто позволяет выполнить наиболее удобный чертеж, на котором конфигурация, рассматриваемая в задаче, хорошо обозрима.


Список рекомендуемой литературы:


1. ЕГЭ 2019. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов + 800 дополнительных заданий части 2. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


2. ЕГЭ 2019. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов заданий. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


3. Г.В.Дорофеев, М.К.Потапов, Н.Х.Розов ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗЫ (избранные вопросы элементарной математики). - М:Наука, 1975