Тела вращения: цилиндр, конус, шар. ЕГЭ. Планиметрия. Стереометрия. Параллелограмм. Биссектриса внутреннего угла треугольника. Касательная. Секущая. Хорда шара. Секущая шара. Плоскость. Трапеция. Площадь отсекаемой части многоугольника. Объем отсекаемой части многогранника. Геометрические задачи. Максимум. Минимум

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: ut2018@protonmail.com    
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии







Геометрические решения задач. ЕГЭ


Программа школьного курса геометрии построена, как известно, таким образом, что учащиеся решают, в основном, задачи по стереометрии, а планиметрические задачи встречаются лишь в связи с применением тригонометрии.


На экзаменах ЕГЭ такое положение вещей сказывается далеко не лучшим образом:


поступающие, неплохо справляясь с задачами, требующими тригонометрических вычислений (даже весьма громоздких), часто становятся в тупик перед сравнительно простыми задачами, для решения которых необходимо применить, в общем, хорошо им известные геометрические факты из планиметрии.


Поэтому при подготовке к приемным экзаменам


особое внимание надо уделять активизации материала по планиметрии, решать больше задач, требующих «чисто геометрических» идей и рассуждений.


Подчеркнем сразу же, что здесь речь не идет о каком-то противопоставлении геометрических и аналитических методов решения задач. Напротив, наиболее успешным может быть именно их разумное сочетание.


Тогда на экзаменах не будет случаев, когда с помощью головоломных вычислений решается простая геометрическая задача иди, наоборот, когда придумываются хитроумнейшие дополнительные построения в задаче, где введение тригонометрических функций является естественным путем решения. Да и само деление на геометрические и аналитические решения весьма условно — кан- правило, в любой задаче геометрические соображения неизбежно комбинируются с вычислениями.


Напомним несколько «чисто геометрических» теорем, которые очень важны для решения задач, но которые часто забывают или не умеют использовать поступающие.


Теорема о сторонах и диагоналях параллелограмма: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.


Теорема о биссектрисе внутреннего угла треугольника: биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.


Теорема об угле между касательной в хордой; угол между касательной и хордой измеряется половиной дуги, стягиваемой хордой и заключенной внутри угла.


Теорема об отрезках пересекающихся хорд: произведение отрезков хорд, проходящих через данную точку внутри круга, постоянно.


Теорема о касательной и секущей: если из точки вне круга проведены касательная и секущая, то квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.


Подчеркнем, что две последние из приведенных теорем верны и в стереометрии — если вместо круга рассматривается шар. Для доказательства достаточно через две хорды шара или через касательную и секущую шара провести плоскость, после чего остается применить планиметрическую теорему.


Нельзя не отметить, что все эти теоремы в программе вступительных экзаменов не перечислены; поэтому, естественно, возникает вопрос, надо ли их знать и допустимо ли появление на приемных экзаменах задач, которые можно решать с их помощью.


Однако, во-первых, эти теоремы изучаются в школе и достаточно хорошо известны.


Во-вторых, все они доказываются «в две строчки» и потому представляют собой, по существу, всего лишь простые задачи, вполне доступные поступающим (например, доказать любую из них могут предложить в качестве дополнительной задачи на устном экзамене).


В-третьих, любую задачу можно решить и без формального использования указанных теорем: так, соотношение, вытекающее из теоремы об отрезках пересекающихся хорд, немедленно получается из подобия соответствующих треугольников. Между тем перечисленные выше теоремы полезно знать, чтобы не «изобретать велосипед» в каждой отдельной задаче.


Во многих задачах приходится отыскивать те или иные элементы треугольнике». Поступающим хорошо известны основные метрические соотношения, позволяющие вычислять стороны треугольника, его углы, площадь, высоты.


Несколько сложнее обстоит дело, когда требуется найти длину медианы или биссектрисы треугольника. С этим справляются далеко не все


хотя необходимые вычисления довольно очевидны и используют лишь две из приведенных выше теорем. Мы сформулируем здесь соответствующие результаты.


Довольно часто на экзаменах ЕГЭ предлагают задачи на трапеции, и, как показывает опыт, они вызывают затруднения у поступающих.


Между тем такие задачи обычно легко решаются «чисто геометрическими» методами — с помощью соображений, связанных с подобием треугольников (и с использованием производных пропорций, которыми многие поступающие владеют довольно слабо), и с помощью ряда стандартных дополнительных построений.


Наконец, упомянем еще один факт, также справедливый для любой трапеции:


если в трапеции провести диагонали, то треугольники, примыкающие к боковым сторонам, равновелики.


Большую группу задач, решаемых «чисто геометрическими» методами, образуют задачи, связанные с делением отрезков в некотором отношении и соответствующим делением площадей фигур и объемов тел.


Часто в задачах, предлагаемых на экзаменах ЕГЭ, возникает необходимость вычислить площадь отсекаемой части многоугольника или объем отсекаемой части многогранника, если каким-либо образом заданы точки деления сторон или ребер.


Аналитические решения задач


Как уже отмечалось, иногда «чисто геометрическая» идея или удачное дополнительное построение позволяют найтн в планиметрической или стереометрической задаче наиболее простое решение, почти не требующее вычислений.


Однако это, разумеется, не означает, что геометрические задачи всегда решаются лишь геометрическими средствами.


Привлечение тригонометрических алгебраических методов и фактов часто оказывается в геометрических задачах даже неизбежным, ибо иных «чисто геометрических» путей решения может и не существосуществовать.


Многие задачи экзаменов ЕГЭ бывают рассчитаны как раз на комплексное использование результатов из разных разделов геометрии, тригонометрии и алгебры.


Недаром даже я программе экзаменов ЕГЭ специально подчеркивается, что поступающий должен уметь «использовать методы алгебры и тригонометрии при решении геометрических задач».


Необходимость применения тригонометрии в геометрических задачах общеизвестна: без тригонометрических соотношений между сторояами и углами различных фигур мы не смогли бы решить очень многие задачи.


Это прежде всего относится к различным вычислительным задачам, в которых требуется найти величину того или иного элемента геометрической конфигурации.


С другой стороны, нетрудно доказать следующий общий факт:


если в трехгранном угле все плоские углы равны между собой, то проекцией ребра на плоскость противолежащей грани является биссектриса плоского угла зтой грани.


Кстати, эта традиция — давать ответ «в форме, удобной для логарифмирования», — далеко не всегда приводит к наиболее простой записи ответа. Вопреки распространенному мнению, не,во всех случаях эта форма наиболее удобна и при вычислении с конкретными значениями заданных в условии задачи величин.


Решая подобные задачи, некоторые поступающие не только проводят необходимые обоснования и выкладки, но и стремятся изучить подробнее получившуюся формулу. Это изучение, как правило, состоит в нахождении ее области определения.


Подчеркнем, что такое исследование ответа, не является обязательной частью решения (если, конечно, условие задачи не требует этого специально).


Тем не менее некоторые поступающие это исследование проводят. При этом часто допускается логическая ошибка: считается, что конфигурация, о которой идет речь в задаче, существует в точности при тех значениях букв, при которых имеет смысл окончательная формула.


Однако на самом деле исследование условий существования геометрической конфигурации отнюдь не равносильно простому анализу получившегося ответа.


Таким образом,


возможны случаи, когда геометрическая конфигурация задачи существует не при всех тех вначениях букв, которые входят в область определения

ответа.


Поэтому исследование геометрической задачи, т. в. выяснение условий, при которых конфигурация существует,— гораздо более сложная задача,

рассмотрение которой от поступающих не требуется.


Во всех геометрических задачах необходимо лишь провести решение, предполагая, что геометрическая конфигурация, о которой идет речь в задаче, существует (если, конечно, в условии задачи не оговорена необходимость проведения такого исследования).


При решении геометрических задач иногда приходится сталкиваться с необычными на вид соотношениями, получающимися в результате применения известных формул тригонометрии. Эти «необычности» вызывают недоумение поступающих, которые не всегда могут их осмыслить и правильно истолковать.


Между тем понимать истинный смысл этих неожиданно возникающих необычных на вид соотношений очень важно.


Дело в том, что часто сами формулы «думают» за нас, оказываются более предусмотрительными, учитывая такие случаи, которые мы не отразили в чертеже, или такие, условия, на которые мы не обратили должного внимания.


Большое значение при решении геометрических задач имеют алгебраические методы. Алгебра, часто в сочетании с тригонометрией, позволяет справиться со многими сложными задачами.


Суть алгебраического подхода к геометрическим задачам состоит в том, чтобы для некоторой величины составить из геометрических соображений уравнение, а затем решить его или исследовать алгебраическими средствами.


Конечно, после этого еще остается вопрос о той или иной геометрической интерпретации получавшегося алгебраического результата.


Широкие возможности для использования алгебры в геометрии открывают метрические соотношения в треугольнике и круге, формулы решения прямоугольных треугольников, теоремы синусов и косинусов и т. д.


Заметим, что


задачи, решающиеся алгебраическими методами, требуют подчас довольно длинных вычислений. Не следует поэтому пугаться громоздких выкладок или громоздких ответов.


Как правило, необходимые в таких задачах вычисления идейно просты и вполне доступны каждому, кто твердо знает основные формулы тригонометрии и алгебры, хорошо владеет техникой алгебраических и тригонометрических преобразований, приучил себя к аккуратному и внимательному проведению выкладок.


Широко применяются алгебра и тригонометрия при решении геометрических задач на максимум и минимум.


В таких задачах обычйо рассматривается геометрическое тела (или фигура) и требуется выбрать его размеры так, чтобы некоторая величина, связанная с телом, принимала наибольшее (или наименьшее) значение.


Для алгебраического решения задачи, как правило, выписывается функция, связывающая интересующую нас величину с размерами тела, а затем эта функция исследуется.


Тем самым геометрическая задача сводится к алгебраической — изучению свойств функций. Конечно, решив алгебраическую задачу, мы должны дать результатам геометрическую интерпретацию.


Список рекомендуемой литературы:


1. ЕГЭ 2019. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов + 800 дополнительных заданий части 2. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


2. ЕГЭ 2019. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов заданий. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


3. Г.В.Дорофеев, М.К.Потапов, Н.Х.Розов ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗЫ (избранные вопросы элементарной математики). - М:Наука, 1975