Сечения многогранников и тел вращения. ЕГЭ. Прямой круговой конус. Шар. Прямой круговой цилиндр. Призма. Усеченный прямой круговой конус. Усеченная пирамида. Стереометрия. Чертеж. Двугранный угол. Четырехугольная пирамида. Треугольная пирамида. Правильная пирамида. Центр вписанного шара. Центр описанного шара

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: ut2018@protonmail.com    
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии







Комбинации тел. ЕГЭ


Широко распространены на экзаменах ЕГЭ задачи по стереометрии, в которых рассматриваются различные комбинации тел.


При решении таких задач необходимо хорошо представлять себе взаимное расположение тел в пространстве, четко выполнять чертеж, аккуратно доказывать все утверждения.


Очень полезными оказываются и вспомогательные плоские чертежи — вынос планиметрических конфигураций, изображение которых искажено пространственной перспективой.


Рассмотреть все комбинации геометрических тел практически невозможно, и потому ограничимся подробным рассмотрением только случая, когда одно из тел — шар. Именно в таких задачах обычно возникают особенные затруднения с чертежом.


Однако надо сразу же заметить, что изображение самого шара часто бывает излишним — достаточно лишь указать его центр и точки касания с различными плоскостями и прямыми. Сначала остановимся на конфигурации, состоящей из пирамиды и вписанного в нее шара.


Определение. Шар называется вписанным в (произвольную) пирамиду, если он касается всех граней пирамиды (как боковых, так и основания).


Таким образом, центр О вписанного шара — точка, равноудаленная от всех граней пирамиды.


Теорема. Если в пирамиду вписан шар, то его центр является точкой пересечения биссектральных плоскостей всех двугранных углов пирамиды.


В самом деле, любая точка, равноудаленная от обеих граней двугранного угла, лежит на его биссектральной плоскости. Поэтому центр вписанного шара, будучи равноудален от всех граней пирамиды, должен находиться в каждой из биссектральных плоскостей, т. е. он является точкой пересечения биссектральных плоскостей всех двугранных углов.


Верно и обратное утверждение: в пирамиду можно вписать шар, если биссектральные плоскости всех ее двугранных углов пересекаются в одной точке.


Конечно, в общем случае ниоткуда не следует, что все биссектральные плоскости пересекаются в одной точке.


Нетрудно придумать пример такой четырехугольной пирамиды, у которой нет точки, общей всем восьми биссектральным плоскостям; в такую пирамиду шар вписать нельзя.


Однако легко доказать, что: 1) в любую треугольную пирамиду можно вписать шар; 2) в правильную n-угольную пирамиду можно вписать шар.


Центр вписанного в пирамиду шара всегда лежит внутри пирамиды, так как все точки биссектральной плоскости лежат между гранями двугранного угла.


Более точно указать местоположение центра вписанного шара в случае произвольной пирамиды нельзя. Однако, например, в правильной пирамиде центр вписанного шара лежит на ее высоте; убедиться в этом совсем просто.


Следовательно,


центр шара, вписанного в правильную пирамиду, есть точка пересечения биссектральной плоскости любого двугранного угла при основании пирамиды с ее высотой.


Подчеркнем, наконец, что


если вписанный в пирамиду шар ортогонально спроектировать на плоскость основания пирамиды, то получающийся в проекции круг не будет вписан в многоугольник, лежащий в основании пирамиды.


Центр любого шара, касающегося только боковых граней правильной треугольной пирамиды, лежит на высоте пирамиды, опущенной на плоскость основания.


Определение. Шар называется описанным около (произвольной) пирамиды, если все вершины пирамиды лежат на его поверхности.


Таким образом, центр О описанного шара - точка, равноудаленная от всех вершин пирамиды.


Таким образом, если около пирамиды описан шар, то его центр лежит на пересечении перпендикуляров, восставленных к каждой из граней пирамиды в центре круга, описанного около этой грани.


Теорема. Если около пирамиды описан шар, то его центр является точкой сечений всех плоскостей, проведенных через середины ребер пирамиды перпендикулярно к этим ребрам.


Действительно, любая точка, равноудаленная от двух вершин пирамиды, прилежащих к одному ребру, лежит в плоскости, проведенной перпендикулярно к этому ребру пирамиды через его середину.


Поэтому центр описанного шара, будучи равноудаленным от всех вершин пирамиды, должен находиться в каждой из таких плоскостей, т. е. он является точкой пересечения всех этих плоскостей.


Нетрудно придумать пример такой четырехугольной пирамиды, вокруг которой описать шар нельзя. Вообще, вокруг пирамиды можно описать шар, если можно описать окружность около многоугольника, лежащего в основании пирамиды. Отсюда вытекает, что:


1) вокруг любой треугольной пирамиды можно описать шар; 2) вокруг правильной п-угольной пирамиды можно описать шар;


доказываются эти утверждения достаточно легко.


При выполнении чертежа поступающие часто помещают центр описанного шара наугад, не представив себе достаточно хорошо данной пространственной конфигурации и тем более не проводя никаких рассуждений о положении этого центра. При этом, как правило, центр ставится внутри пирамиды.


Между тем центр описанного шара может лежать и внутри, и вне, и на поверхности пирамиды (в зависимости от конкретного вида пирамиды). Однако, например, в правильной пирамиде центр описанного шара лежит на ее высоте или на продолжении высоты, за плоскость основания; убедиться в этом совсем просто. Следовательно,


центр шара, описанного около правильной пирамиды, есть точка пересечения высоты пирамиды с перпендикуляром, проведенным через середину любого бокового ребра и лежащим в плоскости, определяемой этим ребром и высотой пирамиды.


Если комбинации пирамиды со вписанным или с описанным шаром поступающие обычно представляют себе удовлетворительно, то всевозможные иные случаи взаимного расположения пирамиды и шара вызывают у них почти непреодолимые трудности.


Лишь немногие могут правильно представить себе пространственную конфигурацию, скажем, в случае шара, касающегося всех ребер треугольной пирамиды, шара, касающегося основания пирамиды и проходящего через ее вершину, шара, касающегося двух скрещивающихся ребер треугольной пирамиды, и т. п.


Планиметрическая теорема: квадрат касательной к окружности равен произведению секущей на ее внешнюю часть.


Что касается комбинаций шара с другими геометрическими телами, то мы приведем здесь лишь несколько определений, которые отсутствуют в школьных учебниках.


Эти определения нет нужды заучивать, надо только хорошо понять геометрическую картину и свойства каждой конфигурации, выполнив необходимые чертежи.


После определений приведены основные полезные факты; их доказательства не представляют труда.


Шар вписан в призму, если он касается всех ее граней.


Если призма прямая, то ортогональной проекцией шара на плоскость основания призмы будет крут, вписанный в многоугольник — основание призмы; для наклонной призмы этот факт неверен. В любом случае высота призмы равна диаметру шара.


Шар вписан в прямой круговой конус, если он касается как основания конуса, так и его боковой поверхности.


Точкой касания шара с основанием является центр основания, а с боковой поверхностью касание происходит по некоторой окружности (она не является окружностью большого круга!), плоскость которой параллельна плоскости основания. Центр шара лежит на высоте конуса.


Шар вписан в прямой круговой цилиндр, если он касается как оснований цилиндра, так и его боковой поверхности.


Точками касания шара с основаниями являются центры оснований, а с боковой поверхностью касание происходит по окружности большого круга шара, параллельного основаниям. Центр шара лежит на оси цилиндра; диаметр основания цилиндра равен диаметру шара и равен высоте цилиндра.


Шар вписан в усеченную пирамиду, если он касается ее оснований и боковой поверхности. Диаметр шара равен высоте усеченной пирамиды.


Шар вписан в усеченный прямой круговой конус, если он касается его оснований и боковой поверхности.


Точками касания шара с основаниями являются центры оснований, а с боковой поверхностью касание происходит по окружности, лежащей в плоскости, параллельной основаниям конуса. Центр шара лежит на оси конуса, диаметр шара равен высоте конуса.


Призма вписана в шар, если ее вершины лежат на сфере. Призма является прямой, ее основание — многоугольник, который можно вписать в окружность.


Прямой круговой конус вписан в шар, если его вершина и окружность его основания лежат на сфере.


Основание конуса является малым (или большим) кругом шара; центр шара лежит на высоте конуса (или на ее продолжении за плоскость основания).


Прямой круговой цилиндр вписан в шар, если окружности его оснований лежат на сфере. Основания цилиндра являются малыми кругами шара, центр шара совпадает с серединой оси цилиндра.


Сечения многогранников


Довольно часто на экзаменах ЕГЭ предлагаются геометрические задачи, в которых проводится некоторая плоскость сечения данного многогранника и требуется вычислить, например, площадь сечения или отношение, в котором секущая плоскость делит объем многогранника.


Каждая из таких задач состоит из двух частей: построение сечения и вычисление того, что требуется.


Без решения первой части задачи, естественно, не может быть и речи о решении второй ее части. Обычно в задачах на сечение после геометрических рассмотрений, связанных с построением сечения, задача становится совсем простой. Таким образом, «центр тяжести» задач на сечения лежит не в тригонометрических выкладках или решении треугольников, а именно в геометрии в собственном смысле этого слова.


Экзамены показывают, что обычно поступающие правильно указывают форму сечения и правильно проводят дальнейшие вычисления. Однако достаточно убедительно обосновать геометрическую сторону решения могут далеко не все из них


а многие даже и не пытаются проводить соответствующие доказательства, считая, что все и так очевидно.


Естественно, в таких случаях задача считается нерешенной. Поэтому не лишне здесь еще раз подчеркнуть, что при решении задачи все утверждения, даже кажущиеся «наглядно очевидными», должны быть обязательно обоснованы.


Укажем один достаточно общий способ построения сечений многогранников.


Построить сечение — значит указать точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника (эти точки, в частности, могут оказаться

и вершинами многогранника) и соединить эти точки отрезками, лежащими в гранях.


Для этого достаточно в плоскости грани указать две точки, принадлежащие сечению, соединить их прямой и найти точки пересечения этой прямой с ребрами многогранника.


Такое построение весьма естественно, однако применяют его далеко не все. Связано это с тем, что отыскать две точки сечения, лежащие в самой грани, обычно трудно. Тем не менее нас вполне удовлетворили бы две точки сечения, лежащие в плоскости грани (а не обязательно на самой грани). Найти такие точки часто удается просто, но для этого, как правило, приходится выходить за пределы рассматриваемого многогранника.


Однако делать дополнительные построения вне многогранника поступающие почему-то боятся.


Между теы, такие дополнительные построения в ряде задач оказываются неизбежными. Кроме того, эти построения позволяют сравнительно просто проводить необходимые доказательства и вычисления.


Существуют задачи, в которых секущая плоскость задана тремя точками, лежащими на ребрах (или их продолжениях) рассматриваемого многогранника, и тем не менее формальное проведение описанного выше метода построения сечения не приводит к цели.


Так обстоит дело в задачах, в которых прямая, соединяющая две данные точки сечения, оказывается параллельной ребру многогранника. В таких случаях надо воспользоваться теоремой о том, что если дзе плоскости параллельны прямой, то линия их пересечения гакже параллельна этой прямой.


В предыдущих задачах мы всегда имели в плоскости хотя бы одной грани многогранника две точки искомого сечения. Зная их, мы находили еще одну или две точки, лежащие на ребрах, а значит и лежащие в других гранях. Тогда в плоскости новой грани также имеем две точки сечения и т. д.


Однако так бывает далеко не во всех задачах; часто одна из точек, определяющих сечение, лежит внутри многогранника, или все эти точки задаются в разных гранях. При решении таких задач приходится делать сначала дополнительные построения. Обычно в таких случаях проводится вспомогательная плоскость, содержащая какую-либо прямую из плоскости сечения и какую-либо прямую, лежащую в плоскости одной из граней многогранника. В построенной вспомогательной плоскости отыскивается точка пересечения этих прямых и тем самым находится еще одна точка сечения, лежащая уже в плоскости грани. Дальнейшее построение проходит по описанной выше схеме.


Иногда плоскость сечения задается не тремя точками, а другими условиями, например, одной точкой и условием, что секущая плоскость параллельна некоторой плоскости, или точкой и условием, что секущая плоскость параллельна двум скрещивающимся прямым.


В таких задачах надо найти какие-либо точки, лежащие в плоскостях граней, а уж затем продолжать решение описанным выше стандартным способом.


Итак,


во всех рассмотренных задачах стандартный метод позволил почти автоматически строить сечение, а дополнительные построения вне рассматриваемого многогранника позволили очень просто проводить необходимые вычисления.


Список рекомендуемой литературы:


1. ЕГЭ 2019. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов + 800 дополнительных заданий части 2. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


2. ЕГЭ 2019. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов заданий. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


3. Г.В.Дорофеев, М.К.Потапов, Н.Х.Розов ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗЫ (избранные вопросы элементарной математики). - М:Наука, 1975