Производная функции, ее геометрический и физический смысл. ЕГЭ. Дифференцирование. Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции. Построение графиков функций. Экстремумы функции. Точки минимума и максимума функции. Наибольшее и наименьшее значения функции. Критические точки функции

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: ut2018@protonmail.com    
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии







Производная, ее геометрический смысл. ЕГЭ


Производной функции y = f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции к соответствующему приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.


Для существования производной f'(х0) необходимо, чтобы функция f(х) была определена в некоторой окрестности точки х0. Также необходимо, чтобы функция была непрерывна.


Функция, имеющая производную в точке х0, называется дифференцируемой в этой точке; операция нахождения производной называется дифференцированием.


Функция, дифференцируемая в каждой точке некоторого интервала, называется дифференцируемой на этом интервале.


Производная дифференцируемой на интервале функции y = f(x) сама является функцией аргумента х, ее обозначают f(x) или у'(х) и называют производной функцией.


(sin x)' = cos x ; (cos x)'= —sin x


Геометрический смысл понятия производной становится ясным из рассмотрения графика функции y = f(x), определенной на некотором интервале.


Предельное положение секущей MN при стремлении N к М называется касательной к графику функции y = f(x) в точке М.


Понятие производной является одним из основных в математическом анализе.


Применение производной к исследованию функций и построению их графиков


При исследовании функций и построении их графиков широко используются производные. С их помощью у заданной функции находятся интервалы возрастания и убывания и точки экстремумов.


Справедливы следующие утверждения.


Если функция f(x) со всех точках, некоторого интервала имеет положительную производную f (x), то она возрастает на этом интервале, а если отрицательную производную, то f (х) убывает.


Промежутки, на которых функция возрастает или убывает, называется ее промежутками монотонности.


Точки минимума и максимума функции называются ее точками экстремума, а значения функции в этих точках - экстремумами данной функции.


Для нахождения точек экстремума заданной функции важную роль играет теорема Ферма: Если точка x0 является точкой экстремума дифференцируемой функции f(х), то f'(x0) = 0.


Из теоремы Ферма следует, что точки экстремума заданной функции следует искать среди точек, в которых производная функции равна нулю или не существует.


Точки, в которых производная функции обращается в нуль или не существует, называются критическими точками этой функции.


Точки экстремума функции являются ее критическими точками. Однако не всякая критическая точка является точкой экстремума.


При исследовании точек экстремума функции удобно пользоваться следующими достаточными условиями для точек максимума и минимума.


Точка х0 является точкой максимума функции f(x), если у точки х0 существует такая окрестность, что в ней f(x) непрерывна, f'(х) > 0 для х<х0 f'(x) < 0 для х > x0.


Если же f'(x) < 0 для х < х0 и f'(х) > 0 для х > x0, то х0 — точка минимума.


Пусть функция f(х) определена и непрерывна на отрезке [а; b] и пусть x1, ... , xk — критические точки функции f(х), т. е. точки, в которых функция не имеет производной, и точки, в которых производная равна нулю.


Тогда на каждом из интервалов (a; х1) ,..., (xk; b) производная F (х) сохраняет знак, и, следовательно, на каждом из этих интервалов функция f(x) либо возрастает, либо убывает.


Поэтому наибольшее из чисел f(а), f(x1), ..., f(xk), f(b) является наибольшим значением функции f(х) на отрезке [а; b], а наименьшее из этих чисел является наименьшим значением функции на [а; Ь].


Заметим, что наибольшее и наименьшее значения функции f(x) на [а; Ь], находятся среди чисел f(a), f(x1),..., f(xk), f(b), где х1, ... , xk — критические точки функции f(x) на (a; b).



Список рекомендуемой литературы:


1. ЕГЭ 2019. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов + 800 дополнительных заданий части 2. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


2. ЕГЭ 2019. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов заданий. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


3. ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗЫ. Под редакцией Г. Н. Яковлева - М: Наука, 1982