Вычисление производных функций. ЕГЭ. Понятие функции. Область определения функции. Множество значений функции. Рациональная функция. Координатная плоскость. График функции. Обратная функция. Координатные прямые. Плоскость. Координатные углы. Квадранты. Абсцисса. Ордината. Система координат. Ось абсцисс. Ось ординат

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: ut2018@protonmail.com    
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии







Понятие функции. ЕГЭ


Пусть X — некоторое числовое множество.


На множестве X определена числовая функция, если каждому элементу множества X поставлено в соответствие действительное число.


Множество X называется при этом областью определения функции.


Произвольный элемент области определения обычно обозначается буквой х и называется аргументом функции или независимой переменной.


Выражение «аргумент х пробегает множество X» понимается в том смысле, что вместо х может быть взято любое число из области определения функции.


Другой пример функции: каждому рациональному числу ставится в соответствие число 1, а каждому иррациональному — число 0. Область определения — все множество действительных чисел (эта функция называется функцией Дирихле).


Обычно закон соответствия обозначается некоторой буквой, например f, и говорится, что на множестве X определена функция f или f(x).


Употребляется также запись функции в виде у=f(х), здесь х означает аргумент, у — соответствующее ему значение функции, f — закон соответствия.


Иногда говорят, что функция f ставит в соответствие (сопоставляет) значению аргумента х значение y.


Разумеется, вместо букв х, f, у можно взять другие буквы, например, функция может быть записана в виде y = q(t) или если число x принадлежит области определения функции f, то говорят, что функция f определена в точке x. Для того чтобы указать значение функции в фиксированной точке а, используется такая запись: f(a), у(a).


Множество всех значений функции f(x), когда аргумент х пробегает область определения функции, называется множеством значений функции f.


Множество значений функции является подмножеством множества R действительных чисел. Поэтому иногда говорят, что функция есть отображения одного подмножества (области определения) на другое подмножество (множество значений) множества действительных чисел.


Две функции считаются равными, если у них одна область определения и каждому числу из области определения они сопоставляют одно и тоже значение.


Часто функцию задают формулой, указывающей последовательность математических операций, которые надо выполнить над аргументом, чтобы получить ее значение.


При этом ничего не говорится об области определения. В этом случае считается, что функция определена на множестве тех значений аргумента, для которых указанные формулой действия выполнимы.


Множество всех таких значений аргумента называется естественной областью определения функции, заданной формулой, или областью допустимых значений аргумента. Естественная область определения функции f заданной формулой обычно обозначается D(f). В случае задания функции формулой возникает задача нахождения области определения (имеется в виду естественной области определения) функции.


Многочленом n-й степени называется функция, которая определена на всей числовой прямой и может быть приведена к многочлену n-й степени стандартного вида.


Рациональной функцией называется функция, которая может быть представлена в виде отношения двух многочленов стандартного вида.


Координатная плоскость. График функции


Две взаимно перпендикулярные координатные прямые с общим началом отсчета образуют прямоугольную систему координат на плоскости.


Масштабные отрезки обычно берутся равными, однако иногда используются координатные прямые и с разными масштабными единицами. Одну из этих прямых обычно изображают горизонтально, называют осью абсцисс и обозначают Ох. Другую прямую рисуют вертикально, называют осью ординат и обозначают Оу. Общее начало — точка О — называется началом координат.


Плоскость с выбранной на ней системой координат называется координатной плоскостью.


На координатной плоскости каждой точке ставится в соответствие пара чисел, называемых координатами этой точки относительно данной системы координат. Пусть Мх и Му — ортогональные проекции точки М соответственно на ось абсцисс и на ось ординат. Точка Мх, как точка координатной прямой Ох, имеет координату х, а точка Му, как точка координатной прямой Оу, имеет координату у.


Пару чисел (х; у) (ее называют «упорядоченной» парой в том смысле, что х на первом месте, а у на втором) называют координатами точки М и пишут M(х; у).


Координачы х и у называются соответственно абсциссой и ординатой точки М.


Каждой упорядоченной паре чисел (а; b) на координатной плоскости соответствует единственная точка М, для которой эти числа являются координатами; х = а, у = b.


Таким образом, между точками координатной плоскости и упорядоченными парами действительных чисел (х; у) устанавливается взаимно однозначное соответствие.


Множество пар действительных чисел иногда называют числовой плоскостью.


Координатные прямые делят плоскость на четыре координатные угла (квадранта).


Пусть задана функция y = f(x) с областью определения X.


Графиком функции f(х) называется множество точек координатной плоскости с координатами (х; f(x)), т. е. множество точек, абсциссы которых принадлежат множеству X, а ординаты равны соответствующим значениям функции.


Изображение графика функции на координатной плоскости дает наглядное представление о свойствах и поведении функции.


Простейшим способом построения графика функции y = f(x) является способ построения по точкам. Составляется таблица значений аргумента и соответствующих значений функции.


Обратная функция


Таким образом, на множестве У определена функция, которая называется обратной функции f.


Областью определения обратной функции является множество значений функции f.


Функция, которая имеет обратную, называется обратимой.


Подчеркнем, что


функция обратима тогда и только тогда, когда эта функция двум разным значениям аргумента ставит в соответствие разные значения.


Список рекомендуемой литературы:


1. ЕГЭ 2019. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов + 800 дополнительных заданий части 2. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


2. ЕГЭ 2019. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов заданий. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


3. ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗЫ. Под редакцией Г. Н. Яковлева - М: Наука, 1982