Исследование функций с помощью производных. ЕГЭ. Четные и нечетные функции. Периодические функции. Период функции. Линейная функция. Область определения функции. Асимптоты. Экстремумы функции. Промежутки возрастания и убывания функции. Промежутками монотонности. Производная. Пстроение графиков функций

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org    
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии

Исследование функций и построение их графиков. ЕГЭ

Четные и нечетные функции

Функция f(х), определенная на множестве X, называется четной, если для любого х из X выполняются условия: f(—x) = f(x).

График четной функции на координатной плоскости симметричен относительно оси ординат.

Верно и обратное утверждение: если график функции f(х) симметричен относительно оси ординат, то эта функция f(х) четная.

Если две четные функции имеют одну и ту же область определения, то сумма, разность и произведение этих функций являются четными функциями.

Функция f(x), определенная на множестве X, называется нечетной, если для любого х из X выполняются условия:f(—x) = -f(x).

Легко показать, что

график нечетной функции на координатной плоскости Оху симметричен относительно начала координат О.

Верно и обратное утверждение: если график функции f(х) на координатной плоскости Оху симметричен относительно начала координат 0, то функция f(x) является нечетной функцией.

Если две нечетные функции fix) и g(x) имеют одну и ту же область определения X, то функции f(x)+g(x) и f(x)—g(x) являются также нечетными функциями, а функция f (х)g(x) является четной функцией.

Отметим, что области определения четных и нечетных функций являются симметричными относительно точки О на координатной прямой Ох.

Существуют функции, которые не являются ни четными, ни нечетными. Для любой функции f (х) можно доказать следующее утверждение.

Если функция f (х) определена на множестве X, которое является симметричным относительно точки О на координатной прямой Ох, то ее можно представить в виде суммы двух функций — четной и нечетной, причем такое представление единственно.

Периодические функции

Многие важные процессы в природе и технике являются периодическими. Изучение таких процессов приводит к необходимости рассмотрения периодических функций.

Функция f(x), определенная на множестве X, называется периодической, если существует такое число Т больше 0, что для любого x выполняются условия: f(х + Т)=f(х-T).

Число Т называется периодом функции f(х).

Не всякая периодическая функция имеет наименьший период.

Поэтому любая функция, определенная во всех точках числовой прямой, кроме одной точки, не является периодической.

Очевидно, что если две периодические функции имеют один и тот же период, то их сумма, разность и произведение тоже будут периодическими функциями.

Линейной функцией называется функция вида y=kx + b, где k и b — некоторые действительные числа.

Графиком линейной функции y = kx+b является прямая, проходящая через точку (0; b) с угловым коэффициентом k.

Построение графиков функций

При построении графиков функций целесообразно действовать по следующей схеме.

1. Найти область определения функции (если она не задана). 2. Установить, является ли функция четной или нечетной. 3. Установить, является ли функция периодической. 4. Найти асимптоты.

5. Найти промежутки возрастания и убывания функции. 6. Найти точки пересечения графика функции с осями координат. 7. Найти экстремумы функции.

Данные исследования функций сразу же по мере их получения наносим на чертеж.

Применение производной к исследованию функций и построению их графиков

При исследовании функций и построении их графиков широко используются производные. С их помощью у заданной функции находятся интервалы возрастания и убывания и точки экстремумов.

Справедливы следующие утверждения.

Если функция f(x) со всех точках, некоторого интервала имеет положительную производную f'(x), то она возрастает на этом интервале, а если отрицательную производную, то f(х) убывает.

Промежутки, на которых функция возрастает или убывает, называется ее промежутками монотонности.

Список рекомендуемой литературы:

1. ЕГЭ 2019. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов + 800 дополнительных заданий части 2. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН

2. ЕГЭ 2019. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов заданий. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН

3. ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗЫ. Под редакцией Г. Н. Яковлева - М: Наука, 1982