Применение производной в физике и геометрии. ЕГЭ. Математика. Логарифмическая функция. Показательная функция. График функции. Линейная функция. Угловой коэффициент. Система координат. Функциональная зависимость. Обратная функция. Независимая переменная. Ось абсцисс. Ось ординат. Коэффициент пропорциональности

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: ut2018@protonmail.com    
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии







Постоянные и переменные величины. ЕГЭ


Применение математики к изучению законов природы и к использованию их в технике заставило ввести в математику понятие переменной величины и, в противоположность ей, понятие постоянной величины


Переменная величина — это такая величина, которая в условиях данного вопроса может принимать различные значения. Постоянная величина в условиях данного вопроса сохраняет неизменное значение


Одна и та же величина в одном вопросе может быть постоянной, в другом — переменной величиной


Пример. Температура Т кипения воды в большинстве физических вопросов есть величина постоянная (Т - 100 °С). Однако в тех вопросах, где нужно считаться с изменением атмосферного давления, Т есть величина переменная


Различение постоянных и переменных величин особенно часто применяется в высшей математике; в элементарной математике основную роль играет разделение величин на известные и неизвестные.


Чаще всего переменные величины обозначаются последними буквами латинского алфавита х, у, z,..., а постоянные — первыми а, b, с, ...


Функциональная зависимость между двумя переменными


Говорят, что


две переменные величины х, у связаны функциональной зависимостью, если каждому значению, которое может принять одна из них, соответствует одно или несколько определенных значений другой


Пример. Температура Т кипения воды и атмосферное давление р связаны функциональной зависимостью, так как каждому значению Т соответствует одно определенное значениер и обратно


Так, если Т = 100 °С, то р непременно равно 760 мм рт. ст.; если Т = 70 °С, тор = 234 мм рт. ст. и т. д. Напротив,


атмосферное давление р и относительная влажность воздуха х (рассматриваемые как переменные величины) не связаны функциональной зависимостью: если известно, что х = 90% , то о величине р нельзя еще сказать ничего определенного


Если желательно подчеркнуть, что в данном вопросе значения переменной у должны находиться по заданным значениям переменной х, то последняя (х) называется независимой переменной или аргументом, а первая (у) — зависимой переменной или функцией.


Пример. Если по величине периметра р равностороннего треугольника мы хотим судить о его площади S, то р есть аргумент (независимая переменная), a S — функция (зависимая переменная)


Чаще всего независимая переменная обозначается буквой х


Если каждому значению аргумента х соответствует только одно значение функции у, то функция называется однозначной, если два или более - многозначной (двузначной, трехзначной и т. д.)


Пример. Тело брошено вверх; s — высота его подъема над землей; t — время, прошедшее с момента броска. Величина s есть однозначная функция, так как в каждый данный момент высота тела — вполне определенная величина


Величина t — двузначная функция s, так как тело находится на данной высоте s. Обратная функция дважды — один раз при полете вверх, другой раз при падении вниз.


Обратная функция


Для характеристики функции совершенно не существенно, какой буквой обозначается сама функция и ее аргумент


Если в данной функциональной зависимости аргумент и функцию поменять ролями, мы получаем новую функцию, называемую обратной по отношению к исходной


Задание функции формулой и таблицей


Многие функциональные зависимости могут быть (точно или приближенно) представлены простыми формулами. Например, зависимость между площадью круга S и радиусом r представляется формулой


Часто функциональную зависимость не удается представить в виде формулы или, если удается, формула оказывается неудобной для вычислений. В этих случаях пользуются другими способами, чаще всего табличным и графическим


Пример. Функциональную зависимость между давлением р и температурой кипения воды Т не удается представить одной формулой, которая с нужной степенью точности охватывала бы все практически важные случаи. Эта зависимость представляется таблицей


Для удобства вычислений значения одной переменной большей частью берутся через равные промежутки; эта переменная называется аргументом таблицы


Всех значений аргумента никакая таблица, конечно, не может содержать, но практически пригодная таблица должна содержать столько значений аргумента, чтобы для остальных значение функции можно было бы получить с нужной степенью точности при помощи интерполяции.


Обозначение функции


Пусть известно, что переменная у есть некоторая функция переменной х. Как задана эта функция — формулой, таблицей или как-либо иначе, — безразлично; эта функция может быть даже вовсе не известной, должен быть установлен лишь сам факт функциональной зависимости. Этот факт обозначается записью у = f(x).


Буква f (начальная буква латинского слова functio — функция), разумеется, не обозначает какой- либо величины, так же, как и обозначения lg, tg и т. д. в записях lg х, tg х и т. д. Записи у = lg х, у = tg x и т. д. представляют вполне определенные функциональные зависимости у от х;


запись у = f(x) представляет любую функциональную зависимость


Если хотят подчеркнуть, что функциональная зависимость z от t отлична от функциональной зависимости у от х, то ее обозначают иной буквой, например F, и пишут: z = F(t), у = f(x).


Если же хотят выразить, что функциональная зависимость z от t та же, что и функциональная зависимость у от х, то ее обозначают той же самой буквой f, т. е. пишут z = f(t), у = f(x)


Если найдено или дано выражение у через х, то это выражение соединяют с f(x) знаком равенства.


Две взаимно перпендикулярные прямые образуют прямоугольную систему координат


На каждой из осей произвольно выбирается масштаб.


Взяв произвольную точку М на плоскости, в которой расположены оси, найдем ее проекции Р и Q на координатные оси. Отрезок ОР на оси абсцисс, а также число х, измеряющее его в избранном масштабе, называется абсциссой точки М; отрезок OQ на оси ординат, а также измеряющее его число у — ординатой точки М.


Величины х = ОР и у — OQ называют прямоугольными координатами (или просто координатами) точки М. Они считаются положительными или отрицательными в соответствии с заранее устанавливаемыми направлениями положительных отрезков на каждой из осей (обычно на оси абсцисс положительные отрезки откладываются вправо, а на оси ординат вверх).


Каждой точке плоскости соответствует одна пара чисел х, у. Каждой паре (действительных) чисел х, у соответствует одна точка М.


Прямоугольная система координат часто называется декартовой по имени французского философа и математика Р. Декарта, широко применившего координаты к исследованию многих геометрических вопросов


Графическое изображение функций


Соединяя их на глаз плавной кривой линией, получаем график данной функциональной зависимости. Преимуществами графического изображения в сравнении с табличным являются его наглядность и легкая обозримость; недостатком — малая степень точности


Большое практическое значение имеет удачный выбор масштабов.


По графику можно найти (приблизительно) значение функции и для тех значений аргумента, которые в таблице не помещены


Чтение упрощается, если график нанесен на графленую (например, миллиметровую) бумагу.


Нахождение промежуточных значений функции по ее графику называется графической интерполяцией


На практике всякий график строится «по точкам», т. е. от руки проводится плавная линия, соединяющая ряд отдельных точек


При этом теоретически никогда не исключается возможность, что промежуточные точки, еще не нанесенные на график, лежат очень далеко от проведенной плавной кривой.


Ввиду этого


теоретически следует определить график как геометрическое место точек М(х; у), координаты которых связаны данной функциональной зависимостью


Простейшие функции и их графики


Пропорциональные величины.


Если переменные величины у и х (прямо) пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением у = aх


где a есть некоторая постоянная величина (коэффициент пропорциональности).


График прямой пропорциональности есть прямая линия, проходящая через начало координат и образующая с осью абсцисс угол q, тангенс

которого равен постоянной a; tg q = a


Поэтому коэффициент пропорциональности a называется также угловым коэффициентом.


Замечание.


Для определения угла а между осью абсцисс и графиком направление на оси абсцисс берется положительное; на графике же берется любое направление (величина tg а от выбора направления не зависит)


Линейная функция.


Если переменные величины х и у связаны уравнением первой степени Ах + By = С (по крайней мере одно из чисел А, В не равно нулю), то

график функциональной зависимости есть прямая линия


Когда С = 0, она проходит через начало координат, в противном случае — не проходит.


Функция у = ax+b называется линейной функцией. Ее график — прямая линия


Прямая, служащая графиком функции у = aх + b, образует с (положительно направленной) осью абсцисс угол, тангенс которого равен т, и отсекает на оси ординат отрезок b. Постоянная величина a называется угловым коэффициентом


График функции у = b есть прямая линия, параллельная оси абсцисс


График уравнения х = а есть прямая линия, параллельная оси ординат


Ось абсцисс есть график уравнения у = 0; ось ординат — график уравнения х = О


Каждая парабола имеет ось симметрии, называемую осью параболы. Точка О пересечения параболы с ее осью называется вершиной параболы


Логарифмическая функция обратна показательной. Ее график получается из графика показательной функции (при том же основании) перегибом чертежа по биссектрисе первого координатного угла


Так же получается график всякой обратной функции.


График каждой логарифмической функции получается из графика каждой другой пропорциональным изменением ординаты (логарифмы чисел при разных основаниях пропорциональны


Список рекомендуемой литературы:


1. ЕГЭ 2019. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов + 800 дополнительных заданий части 2. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


2. ЕГЭ 2019. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов заданий. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


3. Справочник по элементарной математике / М. Я. Выгодский. — М: ACT: Астрель, 2006. — 509.