Первообразная и ее свойства. ЕГЭ. Первообразная и неопределенный интеграл. Формула Ньютона — Лейбница. Подынтегральная функция. Переменная интегрирования. Интегрирование. Дифференцирование. Работа силы на отрезке пути. Задача о вычислении пути. Формула интегрирования по частям. Отрезок интегрирования.

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: ut2018@protonmail.com    
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии







Первообразная и неопределенный интеграл. ЕГЭ


Во многих задачах приходится по заданной функции находить новую функцию, производная которой в каждой точке равна значению данной функции в этой точке.


В качестве примера можно привести задачу о нахождении закона движения s(t) материальной точки по заданному закону изменения ее скорости v(t).


Таким образом, если функция имеет хотя бы одну первообразную, то она имеет бесконечное множество первообразных.


Справедлива следующая теорема. Если функция f(х) есть первообразная для функции f(x), то любая первообразная для функции f(х) имеет вид F(х)+С, где С — некоторая постоянная.


Если функция f(х) является первообразной для функции f(x), а функция G(х) является первообразной для функции g(x), то финкция F(x)+G(x) является первообразной для функции f(x) + g(x).


Если функция F(х) является первообразной для функции f(x), то функция kF(х) является первообразной для функции kf(x).


Если функция F(х) является первообразной для функции f(x) то функция f(у (t)) является первообразной для функции f(y(t))y'(t).


(При этом предполагаем, что функции f(y(t)), у'(t) и F(у(t)) определены.)


Это правило сразу же следует из правила дифференцирования сложной функции.


Определение. Множество всех первообразных для функции f(х), называется неопределенным интегралом от функции f(x)


Функция f(x) называется подынтегральной функцией, выражение f(x) dx называется подынтегральным выражением, а постоянная С называется постоянной интегрирования.


Нахождение функции по ее производной называется интегрированием функции.


Интегрирование — действие, обратное дифференцированию. Правильность интегрирования проверяется дифференцированием.


Интеграл и формула Ньютона — Лейбница


Определение. Пусть задана функция f(x), определенная на некотором интервале X, и пусть f(х), хевХ, некоторая первообразная функции f(x). Тогда число F(b)—F(а), называется интегралом от а до b от функции f(x).


Функция f называется подынтегральной функцией, переменная х называется переменной интегрирования, отрезок с концами a и b называется отрезком интегрирования, число b называется верхним пределом интегрирования, число а — нижним пределом интегрирования.


Заметим, что интеграл от а до b от функции f(х) не зависит от выбора первообразной для функции f(х). Действительно, если Ф (х) — некоторая первообразная для f(х), отличная от F(х), то существует постоянная С такая, что Ф (х) = f(x) + С для любого х из рассматриваемого интервала, и поэтому Ф(b)-Ф(а)= F(b) — F(a).


При вычислении интегралов часто используют формулу интегрирования по частям, которая, как и для неопределенного интеграла, является непосредственным следствием формулы для производной произведения функций.


Применение интеграла при решении физических задач


Задача о вычислении пути. Пусть материальная точка движется прямолинейно с некоторой скоростью v = v(t), зависящей от времени t. Требуется найти путь, который проходит точка за промежуток времени.


Если скорость движения постоянна и равна v0, то путь S равен произведению скорости на время движения.


Работа переменной силы. Пусть материальная точка движется по оси Ох под действием силы Р. Если сила Р постоянна и f — проекция этой силы на ось Ох, то произведение f(b-a) называется работой силы на отрезке пути [а; Ь].


Список рекомендуемой литературы:


1. ЕГЭ 2019. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов + 800 дополнительных заданий части 2. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


2. ЕГЭ 2019. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов заданий. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


3. ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗЫ. Под редакцией Г. Н. Яковлева - М: Наука, 1982