Определенный интеграл, его геометрический смысл. ЕГЭ. Математика. Область определения функции. Множество значений функции. Четная функция. Нечетная функция. Периодичность функции. Построение графика функции. График функции. График четной функции. График нечетной функции. Монотонность. Композиция функций
Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии
Определение функции. ЕГЭ
Понятие функции часто встречается в школьном курсе
математики и хорошо знакомо учащимся. Тем не менее на
экзаменах ЕГЭ поступающие допускают много
ошибок при использовании этого понятия. Объясняется это
различными причинами, но в первую очередь тем, что слово
«функция» используется в математике в нескольких смыслах,
а в школьных учебниках это обстоятельство не разъяснено.
Поэтому мы прежде всего обратимся к определению
функции и другим относящимся сюда понятиям и подробно
остановимся на тех различных пониманиях слова «функция»,
которые встречаются в школьном курсе математики.
Самым общим (и, безусловно, основным) является в
математике следующее определение понятия функции.
Говорят,
что
определена некоторая функция, если, во-первых, задано некоторое множество, называемое областью определения функции, во-вторых, задано некоторое множество, называемое областью значений функции, и, в-третьих, указано определенное правило, с помощью которого каждому элементу, взятому из области определения, ставится в соответствие некоторый элемент из области значений
Приведем несколько примеров, иллюстрирующих это общее
определение.
Пример. Обозначим через А множество всех
треугольников на плоскости, а через В — множество всех
окружностей, взятых на этой же плоскости. Множество А будем
считать областью определения, а множество В— областью
значений (той функции, которую мы определяем). Наконец,
каждому треугольнику поставим в соответствие окружность,
вписанную в этот треугольник. Это есть вполне
определенное правило, которое каждому элементу,
взятому изобласти определения (т. е. треугольнику), ставит в
соответствие некоторый элемент из области значений (т. е.
окружность).
Пример. Сохраним те же самые множества А и В,
что и в примере, т. е. по-прежнему будем считать областью
определения множество всех треугольников на плоскости,
а областью значений — множество всех окружностей. Далее,
каждому треугольнику поставим в соответствие его
описанную окружность. Мы получаем функцию с той же
областью определения А и той же областью значений В. Но
это уже другая функция, так как окружность
сопоставляется треугольнику с помощью другого правила.
Пример. Обозначим через К множество всех кругов
на плоскости, а через D — множество всех действительных
чисел. Далее, выберем единицу измерения площадей и
каждому элементу множества К (т. е. кругу) поставим в
соответствие число, равное площади этого круга. Мы получаем
функцию с областью определения К и областью значений D.
Таким образом, для задания функции мало указать правило соответствия, а надо еще обязательно указать область определения и область значений
Для обозначения функций обычно пользуются буквами. Одна буква (чаще всего х) используется для обозначения произвольного элемента, взятого из области определения функции. Эта буква называется аргументом
Таким образом,
если сказано, что х — аргумент некоторой функции, то вместо х мы можем подставить любой элемент, принадлежащий области определения этой функции
Далее,
другая буква (чаще всего у) используется для обозначения произвольного элемента, взятого из области значений. Эта буква называется функцией (и это — второе значение слова «функция»)
Наконец, третья буква (чаще всего f) используется для обозначения правила соответствия. Это значит, что если а — произвольное значение аргумента (т. е. произвольный элемент, взятый из области определения функции), то элемент, поставленный ему в соответствие, обозначается через f(а)
Элемент y=f(a) называется значением рассматриваемой функции при х = а
Все три буквы х, у, f объединяются одной записью: У=f(х) («игрек равен эф от икс»), которая и означает, что х — аргумент, у — функция, а f— правило соответствия
Иногда букву f или выражение f(x) также называют функцией (и это — уже третье значение слова «функция»)
Разумеется,
вместо букв х, у, f можно использовать и другие буквы. Например, запись s = p(t) означает, что s есть функция аргумента t (или короче: s есть функция от t), причем правило соответствия обозначается буквой р
Следует подчеркнуть, что
область значений функции представляет собой множество элементов (или чисел), среди которых обязательно содержатся все значения рассматриваемой функции. Однако в области значений могут содержаться и «лишние» элементы, не являющиеся значениями функции
Иными словами,
множество значений функции обязательно содержится в области значений, но не обязательно совпадает с ней
Так, в примере значениями функции являются лишь положительные числа, тогда как область значений есть множество всех действительных чисел.
Несовпадение множества значений функции и области
значений можно видеть также в примерах.
В заключение рассмотрим еще одно (четвертое!) понимание
слово «функция», являющееся для школьного курса
математики наиболее важным. Именно,
функцией называют произвольное выражение, содержащее аргумент х, а также знаки действий и числа
Почему же такие формулы называют «функциями» и не
противоречит ли это понимание функции сказанному выше?
Связь со сказанным выше устанавливается следующим
соглашением, которого мы всюду в дальнейшем будем
придерживаться.
Если функция задана в виде равенства, в левой части которого стоит у (или другая буква, обозначающая функцию), а в правой части стоит некоторое выражение, содержащее аргумент х, а также знаки действия и числа (причем область определения не указана), то принято считать, что
1) за область значений принимается все множество D
действительных чисел;
2) за область определения принимается множество всех
тех действительных чисел, при подстановке которых вместо х
выполнимы (в множестве действительных чисел) все действия,
указанные в правой части;
3) если число а принадлежит области определения, то
значение функции при х = а равно числу, получающемуся, если
в правую часть подставить х = а и произвести указанные
действия.
Итак,
задание функции формулой содержит в себе и указание области определения, и задание правила соответствия
График функции
Выберем на плоскости прямоугольную систему координат
и будем откладывать на оси абсцисс значения аргумента х,
а на оси ординат — значения функции y=f(x).
Графиком функции y=f(x) называется множество всех точек, у которых абсциссы принадлежат области определения функции, а ординаты равны
Другими словами, график функции y=f(x) — это множество всех точек плоскости, координаты х, у которых удовлетворяют соотношению y=f(x)
Строго говоря, следует различать график функции
(точное математическое определение которого было дано выше)
и начерченную кривую, которая всегда дает лишь более или
менее точный эскиз графика (да и то, как правило, не всего
графика, а лишь его куска, расположенного в конечной части
плоскости).
В дальнейшем, однако, мы обычно будем говорить
«график», а не «эскиз графика».
С помощью графика можно находить значение функции в точке
Именно, если точка х = а принадлежит области определения функции у =f(х), то для нахождения числа f(а) (т. е. значения функции в точке х = а) следует поступить так. Нужно через точку с абсциссой х=а провести прямую,
параллельную оси ординат; эта прямая пересечет график
функции у=f(x) в одной точке; ордината этой точки и будет, в силу определения графика, равна f(а)
Для построения графика функции f(x) нужно найти все точки плоскости, координаты х, у которых удовлетворяют уравнению у=f(х)
В большинстве случаев это сделать
невозможно, так как таких точек бесконечно много. Поэтому
график функции изображают приблизительно — с большей
или меньшей точностью.
Самым простым является метод построения графика по нескольким точкам. Он состоит в том, что аргументу х придают конечное число значений и составляют таблицу, в которую входят выбранные значения аргумента и соответствующие значения функции
Составив такую таблицу, мы можем наметить несколько точек
графика функции у=f(х). Затем, соединяя эти точки
плавной линией, мы и получаем приблизительный вид графика
функции у=f(х).
Следует, однако, заметить, что
метод построения графика по нескольким точкам очень ненадежен
В самом деле,
поведение графика между намеченными точками и поведение
его вне отрезка между крайними из взятых точек остается
неизвестным.
В «чистом» виде метод
построения графика по нескольким точкам ненадежен.
Поэтому для построения графика заданной функции, как
правило, поступают следующим образом. Сначала изучают
свойства данной функции, с помощью которых можно
построить эскиз графика. Затем, вычисляя значения функции
в нескольких точках (выбор которых зависит от
установленных свойств функции), находят соответствующие точки
графика. И, наконец, через построенные точки проводят кривую,
используя свойства данной функции.
Некоторые (наиболее простые и часто используемые)
свойства функций, применяемые для нахождения эскиза
графика, мы рассмотрим в следующем параграфе, а сейчас
разберем некоторые часто применяемые способы построения
графиков.
Монотонность.
Функция называется возрастающей на некотором интервале (целиком содержащемся в области определения этой функции), если при увеличении аргумента (на этом интервале) увеличивается значение функции
функция называется убывающей на некотором интервале, если при увеличении аргумента значение функции уменьшается
Четность и нечетность.
Функция y=f(x) называется четной, если она обладает следующими двумя свойствами: 1) область - определения этой функции симметрична относительно точки О (т. е. если точка а принадлежит области определения, то точка -а также принадлежит области определения); 2) для любого значения х, принадлежащего области определения этой функции, выполняется равенство f(x)=f(—х)
Функция y=f(x) называется нечетной, если: 1) область определения этой функции симметрична относительно точки О; 2) для любого значения х, принадлежащего области определения этой функции, выполняется равенство f(x)=—f(—х)
Четность или нечетность функции весьма существенно сказывается на форме графика этой функции
Именно, имеют
место следующие две теоремы:
Теорема 1. График четной функции симметричен относительно оси у
Теорема 2. График нечетной функции симметричен относительно начала координат (0; 0)
Заметим, что для осуществления симметрии некоторой
кривой относительно начала координат можно поступить
следующим образом: сначала данную кривую K симметрично
отразить относительно оси ординат, а затем полученную кривую
К' симметрично отразить относительно оси абсцисс.
Итак,
для построения графика функции рекомендуется, по возможности, изучить следующие ее свойства: 1) область определения; 2) множество значений (в частности, ограниченность); 3) четность или нечетность; 4) периодичность;
5) монотонность; 6) поведение функции при приближении аргумента к граничным точкам области определения функции; 7) интервалы, на которых функция положительна или отрицательна
Для большей точности построения следует вычислить значения функции в нескольких точках (при этом желательно найти точки пересечения графика с осями координат)
При решении конкретных задач приведенный выше рецепт для построения графика не всегда является самым рациональным
Рассмотрим некоторые случаи, когда график функции может быть построен
преобразованием ранее известного графика. При этом нередко
удается выводить некоторые свойства функции из ее графика.
Композиция функций
Рассмотрим некоторую функцию y=f(x), областью
определения которой является множество А. Разумеется, вовсе
не обязательно обозначать аргумент этой функции именно
буквой х, а саму функцию именно буквой у.
Например,
запись s=f(t) будет означать, что рассматривается та же
функция а (с той же областью определения А), но только
ее аргумент обозначается буквой t, а сама функция —
буквой s. Нередко под так функции подставляется вместо
аргумента не только другая буква, но какое-либо более сложное
выражение. Например, если задана некоторая функция у = f(х), то запись f(а)
Весьма важным является вопрос о том, какова область
определения функции y=f(g(t)), являющейся композицией
двух данных функций а и g.
Ясно, что если t не принадлежит
области определения функции g, то выражение f(g(tj) не
определено: ведь чтобы вычислить это выражение, мы
должны сначала найти g(t). Однако, даже если t принадлежит
области определения функции g(t), выражение /(g@) может
все же не иметь смысла: это будет тогда, когда значение
x=g(t) не принадлежит области определения
функции f(x). Итак, область определения функции y=f(g(t))содержится в области определения функции g(t), но
может не -совпадать с ней.
Нередко при решении задач используются выражения такого вида: «в функции f(x) заменим х на g (х)» или «в функции f(x) вместо х подставим g(x)». Смысл этих выражений заключается в том, что рассматривается функция y=f(g(x))
Иными словами, рассматривается
композиция функций y=f(x) и x = g(t), т. е. функция y=f(g(t)), и в этой функции аргумент обозначается не через t, а снова через х; в результате_ мы и получаем новую функцию y=f(g(x))
Для сокращения речи не говорят «рассмотрим
функцию y=f(g(t)) и обозначим ее аргумент не через t, a
через х», а применяют указанные выше более короткие
фразы. Разумеется,
при рассмотрении композиции y=f(g(x)) надо всегда внимательно следить за областью определения этой функции
Список рекомендуемой литературы:
1. ЕГЭ 2019. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов + 800 дополнительных заданий части 2. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН
2. ЕГЭ 2019. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов заданий. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН
3. Справочник по элементарной математике / М. Я. Выгодский. — М: ACT: Астрель, 2006. — 509.
