Применение определенного интеграла в физике и геометрии. ЕГЭ. Математика. Площадь криволинейной трапеции. Первообразная. Показательная функция. Логарифмическая функция. Степенная функция. Тригонометрические функции. Объем тела вращения. Объем пирамиды. График функции. ОДЗ. Площадь круга

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: ut2018@protonmail.com    
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии







Площадь криволинейной трапеции


Пусть задана неотрицательная непрерывная функция f(х), х ∈ [а; b]. Множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенствам а≤х≤b, 0≤y≤f(x), называется криволинейной трапецией


Криволинейная трапеция ограничена графиком функции f(х), отрезками прямых х=а и х=b и отрезком оси Ох


Площадь криволинейной трапеции равна F(b)—F(а) (называется интегралом от а до b от положительной функции f(x)), где F(x) - некоторая первообразная функции f(x).


Объем тела вращения.


Пусть задана криволинейная трапеция, ограниченная графиком неотрицательной функции y = f(x), х ∈ [а; Ь], осью абсцисс и прямыми х=а и х=b. При вращении этой криволинейной трапеции вокруг оси Ох образуется геометрическое тело Ф. Это геометрическое тело называется телом вращения.


Применение интеграла к вычислению объемов тел


Объем пирамиды. Сначала рассмотрим треугольную пирамиду ABCD, у которой ребро AD перпендикулярно плоскости ABC, и выразим объем V этой пирамиды через высоту H = |AD| и площадь основания S, считая известным, что объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту.


Определение функции. ЕГЭ


Геометрия, механика, физика, различные области науки и техники дают нам множество примеров, когда рассматриваемые в том или ином вопросе переменные величины находятся в зависимости, так что значение одной из величин определяет значение другой


Площадь круга полностью определяется величиной его радиуса. Скорость точки, движущейся равноускоренно, зависит от времени по закону v = v0+at


Давление идеального газа при постоянном объеме V0 изменяется в зависимости от температуры: Р=RT/V0.


Во всех указанных примерах, несмотря на различие смысла входящих в них величин, есть нечто общее:


задание значения одной из двух рассматриваемых переменных величин определяет значение второй величины. Такого рода зависимости между двумя переменными называют функциональными зависимостями


Сформулируем определение понятия функции:


переменная у называется функцией переменной х, если каждому значению х (из некоторой области X изменения х) поставлено в соответствие по определенному закону значение у


При этом х называется независимой переменной (иногда аргументом), а область ее изменения X—областью определения (или существования) функции у.


Множество значений, принимаемых у при изменении х, называется, как обычно, областью изменения у


В принятом определении функции существенны два момента: во-первых, в нем указана область изменения X независимой переменной х, и, во-вторых, в нем требуется наличие определенного правила соответствия между у и х.


Тот факт, что у есть функция от х, выражают в записи так: (произносится: «игрек есть эф от икс»). Буквой f в этом равенстве обозначен именно закон ствия между х и у


Схематически можно изобразить это так: будем рассматривать две числовые оси х и у; пусть X—область определения функции y = f(x). Каждой точке х из этой области ставится в соответствие некоторая точка оси у (закон соответствия / условно изображается стрелкой)


При одновременном рассмотрении нескольких различных функций используют различные буквы для обозначения каждого из законов соответствия, например: y = f(x), y = F(x), y = g(x), y=ф(х)


Две функции считают равными (совпадающими), если их области определения совпадают и значения при любых одинаковых значениях аргумента равны


График функции. Способы задания функций


Для графического представления функции y = f(x) используем декартову прямоугольную систему координат. Каждой точке х оси Ох из области определения функции f(х) отвечает значение y = f(x) и, вместе с тем, точка плоскости с координатами (х, f(х)); при изменении х эти точки образуют график функции


Точное определение таково:


графиком функции (относительно данной системы координат) называется множество точек плоскости, абсциссами которых служат значения аргумента х, а ординатами — соответствующие им значения функции y=f(х)


График функции дает удобное и наглядное представление о ее свойствах, и ниже уделено много внимания методам построения графиков функций


Определение функции не дает указания на то, в какой форме задан закон соответствия между значениями аргумента и зависимой переменной; практически привычной формой задания этого закона является для нас запись функциональной зависимости в виде некоторой математической формулы.


В этом случае говорят, что функция задана аналитическим выражением. При этом термин «аналитическое выражение» имеет приблизительно тот же смысл, что и «алгебраическое выражение», с той разницей, что при записи аналитического выражения не ограничиваются только алгебраическими действиями (т. е. рациональными действиями и операцией извлечения корня), но пользуются, например, такими действиями, как логарифмирование, отыскание синуса или тангенса данного значения аргумента и т. п.


Вообще, при определении новой математической операции для нее вводится специальный символ, который в дальнейшем уже можно использовать для записи аналитического выражения


Для функции, заданной аналитическим выражением, область определения может состоять только из значений х, входящих в о.д.з. этого выражения


Область определения функции оказывается в этом случае частью области допустимых значений аналитического выражения, задающего функцию, или совпадает с этой областью. Например, площадь круга, как функция радиуса R.


Если функция задана аналитическим выражением относительно аргумента х и область определения не указана, то подразумевают, что область определения совпадает с о.д.з. задающего ее выражения


Иногда функция задается разными аналитическими выражениями в разных частях области определения


Кроме аналитического способа задания применяют графическое и табличное задание функций


Если функция задана графиком, то можно по чертежу находить значения у, отвечающие данным значениям х, разумеется, приближенно


Табличный способ задания функции заключается в том, что для избранных значений аргумента х, обычно отстоящих друг от друга на некоторую постоянную величину—шаг таблицы, указываются соответствующие значения у (с определенной степенью точности)


Графическое и табличное задание функций часто возникает в результате проведения измерений, опытов, применения самопишущих приборов


Элементарное


исследование поведения функции


Систематическое и полное исследование функций составляет одну из главных задач области математики, называемой математическим анализом. В элементарной математике также рассматривают простейшие вопросы, связанные с исследованием функций. При этом


под исследованием функции понимают установление ряда ее свойств. Итогом такого исследования может быть построение графика функции


Нулем (или корнем) функции f(x) называется такое значение аргумента х, при котором функция обращается в нуль. Графически нули функции - это точки пересечения ее графика с осью Ох


Функция f(х), область определения которой симметрична относительно начала отсчета О (например, является сегментом [—а, а]), называется четной, если для любого х из ее области определения выполнено равенство f(-x) = f(x)


График четной функции симметричен относительно оси Оу, так как вместе с точкой (х, f (х)) ему будет

принадлежать и симметричная точка (—х, f(x))


Обратно,


если график симметричен относительно оси Оу, то функция — четная


Функция f(x), область определения которой на оси Ох симметрична относительно начала О, называется нечетной, если для любого х из ее области определения выполнено равенство f(-x) = -f(x)


График нечетной функции симметричен относительно начала координат, так как вместе с любой его точкой (х, f (x)) ему принадлежит и симметричная точка (—х, —f(x))


Обратно,

если график функции симметричен относительно О, то функция — нечетная


Прямая линия называется асимптотой графика функции, если график функции неограниченно сближается с этой прямой при удалении точки графика в бесконечность


графики двух взаимно обратных функций расположены симметрично относительно биссектрисы I—III координатных углов


Функции нескольких переменных


Схема представления зависимостей величин в природе с помощью функций одной переменной является очень упрощенной; в действительности значения данной интересующей нас величины зависят от многих факторов (определяются значениями ряда других величин)


Возьмем в качестве примера уравнение состояния идеального газа PV = RT.


Это уравнение связывает три (вообще говоря, переменные) величины: давление Р, температуру Т, объем V.


Дадим определение функции двух переменных (случай функции большего числа переменных трактуется аналогично).


Величина z называется функцией двух переменных х, у (принимающих значения в некоторой допустимой области изменения, называемой областью определения функции z=f(x,у)), если каждой паре значений х, у (из этой области) отвечает по некоторому закону единственное значение z


Поскольку пара значений аргументов х, у может быть изображена точкой плоскости, то область определения функции удобно изображать на плоскости.


В элементарной математике по большей части рассматриваются функции, которые могут быть аналитически заданы с помощью рациональных действий (сложение, вычитание, умножение и деление), выполняемых над числами (константами) и перечисленными ниже так называемыми основными элементарными функциями, а также с помощью образования сложных функций.


Функции, образуемые применением к аргументу только трех целых рациональных действий, называют целыми рациональными функциями


Дробно-рациональной функцией (д. р.ф.) называют функцию, которая требует для своего образования выполнения рациональных действий (включая деление)


Если, кроме рациональных операций, для образования функции применяется еще извлечение корня целой степени (т. е. возведение в рациональную степень), то такую функцию мы называем алгебраической иррациональной функцией


Показательная функция, логарифмическая функция, степенная функция при иррациональном показателе степени называются трансцендентными функциями; также трансцендентными считают и тригонометрические функции


Сам термин «трансцендентный» означает «превосходящий» (в смысле превосходящий силу алгебраических методов).


Линейная функция.


Линейной функцией мы назвали функцию вида: у = ах + b. При b = 0 она принимает вид у = ах. В этом случае говорят, что у прямо пропорционально х (с коэффициентом пропорциональности а)


Отметим простейшие


свойства функции у = ах: 1) функция определена при всех значениях х; 2) график функции проходит через начало координат); 3) функция нечетная, график ее симметричен относительно начала координат, так как а(—х)=—(ах)


Графиком линейной функции является прямая линия, пересекающая ось Оу в точке с ординатой b и наклоненная к оси Ох под углом, тангенс которого равен а


произведение величин, находящихся в обратной пропорциональной зависимости, постоянно и равно коэффициенту пропорциональности



Список рекомендуемой литературы:


1. ЕГЭ 2019. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов + 800 дополнительных заданий части 2. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


2. ЕГЭ 2019. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов заданий. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


3. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА. М.И. Сканави, В.В. Зайцев, В.В. Рыжков. - М.: Наука. - 1967.


4. ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗЫ. Под редакцией Г. Н. Яковлева - М: Наука, 1982