Геометрия и топология. Понятия кривой, кривизны и кручения, основная теорема теории кривых; понятия поверхности и ее характеристик, первой и второй квадратичных форм, гауссовой и средней кривизн; основные уравнения теории поверхностей; понятия топологического пространства, касательного пространства, касательного отображения
Решение задач и выполнение научно-исследовательских разработок: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.info
математика, IT, информатика, программирование, статистика, биостатистика, экономика, психология
Пришлите по e-mail: irina@bodrenko.info описание вашего задания, срок выполнения, стоимость
Портабельные Windows-приложения на сайте Bodrenko.com
"Геометрические методы математической физики" Компьютерные науки Математика и информатика Векторный и тензорный анализ Теория игр Аналитическая геометрия и линейная алгебра Римановы многообразия Элементы вариационного исцисления Дифференциальная геометрия и топология "Геометрия подмногообразий" Дополнительные главы дифференциальной геометрии "Дифференциальные уравнения на многообразиях" "Дифференциальная геометрия и топология кривых" Bodrenko.com Bodrenko.org
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
дисциплины "ГЕОМЕТРИЯ И ТОПОЛОГИЯ"
| Факультет | Математический |
| Специальность | МОАИС |
| Курс | 1 | |
| Семестр | 2 | |
| Всего аудиторных занятий, час. | 68 | |
| Лекции, час | 34 | |
| Лабораторные занятия, час. | 34 | |
| Практические занятия, час. | ||
| СРС, всего часов по учебному плану | 72 | |
| ОргСРС, час. | 40 | |
| Экзамен | 1 | |
| Зачет | 1 | |
| Решение задач | 1 |
2011
Рабочая программа составлена на основании государственного стандарта высшего профессионального образования по курсу "Геометрия и топология" и учебного плана по специальности "МОАИС"Составитель рабочей программы
к.ф.м.н., доц. И.И.Бодренко
I. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
I.1. ЦЕЛЬ ПРЕПОДАВАНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ. Цель преподавания курса "Геометрия и топология" --- формирование у студентов правильных представлений об основных понятиях геометрии и топологии, введение в методы исследований кривых и поверхностей, подготовка к дальнейшему изучению разделов современной геометрии, введение в топологические методы исследования, теорию топологических пространств и дифференцируемых многообразий.
I.2. ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ.
Студент должен знать понятия кривой, кривизны и кручения, основную теорему теории кривых; понятия поверхности и ее характеристик, первой и второй квадратичных форм, гауссовой и средней кривизн; основные уравнения теории поверхностей; понятия топологического пространства, топологических свойств, топологической эквивалентности; понятия дифференцируемого многообразия, функции на многообразии, касательного пространства, касательного отображения, ранга отображения.
Студент должен понимать основные определения дифференциальной геометрии и топологии, разбираться в доказательствах основных теорем курса.
I.3. ВЗАИМОСВЯЗЬ УЧЕБНЫХ ДИСЦИПЛИН.
Понятия геометрии и топологии взаимосвязаны с фундаментальными общематематическими курсами: математическим анализом, механикой, курсом дифференциальных уравнений, функциональным анализом. При изложение курса "Геометрия и топология" используются понятия следующих дисциплин учебного плана по специальности "математика": математический анализ, алгебра, линейная алгебра и геометрия, аналитическая геометрия, дифференциальные уравнения. Методы дифференциальной геометрии и топологии проникли во многие разделы математического естествознания: математическую экономику, математическую экологию, и приобрели универсальное значение. II. CОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ "ГЕОМЕТРИЯ И ТОПОЛОГИЯ"
| Номер темы | Название темы, наименование вопросов, изучаемых на лекциях | Кол - во часов | Лабора- торные работы | Методи- ческие указания | Форма контроля |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 1. | ОСНОВЫ ТЕОРИИ КРИВЫХ. | 8 | 8 | Ш.3, 4 | К.р., зач. |
| 1.1. | Понятие кривой. Плоские кривые, задаваемые параметрически, пространственные кривые. Гладкие и регулярные кривые, касательная к кривой. | 2 | 1.1 | ||
| 1.2. | Длина дуги кривой, определение и основные свойства. | 2 | 1.2 | ||
| 1.3. | Соприкасающаяся плоскость, главная нормаль и бинормаль кривой. Трехгранник Френе. | 2 | 1.3 | ||
| 1.4. | Формулы Френе, кривизна и кручение кривой, вид кривой вблизи данной точки. | 2 | 1.4 | ||
| 2. | ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ. | 9 | 9 | Ш.3, 4 | К.р., зач. |
| 2.1. | Понятие поверхности. Гладкие и регулярные поверхности, касательная плоскость к поверхности. | 1 | 2.1 | ||
| 2.2. | Первая квадратичная форма поверхности, длина кривой на поверхности, угол между кривыми на поверхности. | 1 | 2.2 | ||
| 2.3. | Вторая квадратичная форма, кривизна кривой на поверхности, главные кривизны, линии кривизны, теорема Родрига, формула Эйлера, асимптотические направления, асимптотические линии, средняя и гауссова кривизна. | 5 | 2.3 | ||
| 2.4. | Основные уравнения теории поверхностей. | 2 |
| Номер темы | Название темы, наименование вопросов, изучаемых на лекциях | Кол - во часов | Лабора- торные работы | Методи- ческие указания | Форма контроля |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 3. | ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ. | 11 | 9 | Ш.3, 4 | К.р., экз. |
| 3.1. | Топологические пространства. Операции над открытыми и замкнутыми множествами. Окрестности, предельные точки. Базы, предбазы. Первая и вторая аксиомы счетности. | 4 | 1.1 | ||
| 3.2. | Метрические пространства. Открытые и замкнутые множества. Непрерывные отображения метрических и топологических пространств. Свойства. Гомеоморфизмы. Открытые и замкнутые отображения. | 2 | 1.2 | ||
| 3.3. | Связность, критерий связности. Свойства связных множеств. Компоненты связности. | 2 | 1.3 | ||
| 3.4. | Аксиомы отделимости: хаусдорфность, регулярность, нормальность. Компактные пространства. Непрерывные функции на компактах. Непрерывные отображения компактных пространств. | 3 | 1.4 | ||
| 4. | ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ. ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ТОПОЛОГИИ. | 6 | 8 | Ш.3, 4 | К.р., экз. |
| 4.1. | Понятие дифференцируемого многообразия. Карты и атласы. Локальные координаты. Дифференцируемая структура. | 2 | 2.1 | ||
| 4.2. | Гладкие функции на многообразии.Разбиение единицы. Гладкие отображения.Диффеоморфизм. Ранг гладкого отображения. | 2 | 2.2 | ||
| 4.3. | Касательный вектор к многообразию. Дифференциал гладкого отображения. Свойства касательного отображения. | 2 | 2.3 |
III.1. ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ
| Номер | Объем, | |
| лабораторной | Наименование лабораторной работы | час |
| работы | ||
| 1 | 2 | 3 |
| 1. | ОСНОВЫ ТЕОРИИ КРИВЫХ. | 8 |
| 1.1. | Плоские кривые, задаваемые параметрически, пространственные кривые. Гладкие и регулярные кривые, касательная к кривой. | 2 |
| 1.2. | Вычисление длины дуги кривой, натуральный параметр. | 2 |
| 1.3. | Построение соприкасающейся плоскости, нахождение базиса Френе, построение трехгранника Френе. | 2 |
| 1.4. | Вычисление кривизны и кручения кривой. | 2 |
| 2. | ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ | 9 |
| 2.1. | Составление уравнений поверхностей, нахождение касательной плоскости к поверхности. | 2 |
| 2.2. | Первая квадратичная форма поверхности: вычисление длины кривой на поверхности, угла между кривыми на поверхности. | 2 |
| 2.3. | Вычисление второй квадратичной формы, нахождение главных кривизн, линий кривизны, асимптотических направлений, асимптотических линий, средней и гауссовой кривизн. | 5 |
| 3. | ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЯ. | 9 |
| 3.1. | Введение топологии, базы. | 1 |
| 3.2. | Непрерывные отображения. Гомеоморфизмы. | 2 |
| 3.3. | Связность, критерий связности. Свойства связных множеств. | 2 |
| 3.4. | Компактные пространства. Непрерывные функции на компактах. Непрерывные отображения компактных пространств. | 4 |
| 4. | МНОГООБРАЗИЯ. | 8 |
| 4.1. | Карты, атласы. Структура дифференцируемого многообразия. | 2 |
| 4.2. | Дифференцируемые функции на многообразии. | 2 |
| 4.3. | Дифференцируемые отображения, ранг отображения. | 4 |
III.2. ОРГАНИЗУЕМАЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ
| Форма | Номер | Срок выполнения | Время, затрачиваемое на |
| ОргСРС | семестра | выполнение ОргСРС | |
| Домашние задания | 2 | В течение семестра | 40 часов |
III.3. ЛИТЕРАТУРА
. Позняк Э. Г., Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия. М.: Изд-во МГУ. 1990.
. Постников М. М. Гладкие многообразия. М.: Наука. 1987.
. Мищенко А.С., Соловьев Ю. П., Фоменко А.Т. Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии. М.: Изд-во МГУ, 1981.
. Борисович Ю.Г. и др. Введение в топологию. - М.: Наука, 1980.
III.4. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
. Бодренко И.И. "Дифференциальная геометрия. Сборник задач. Ч.1". Изд-во ВолГУ. 1999 г. 32 с.
. Фонд контрольных заданий по курсу "Геометрия и топология". (Варианты контрольных работ. Составитель -- Бодренко А.И.)
. Программа зачета по курсу "Геометрия и топология". (Электронные методические указания. Составитель -- Бодренко А.И.)
. Программа экзамена по курсу "Геометрия и топология". (Электронные методические указания. Составитель -- Бодренко А.И.)
IV. КОНТРОЛЬ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
| Виды занятий | Формы контроля |
| Теоретические занятия | Зачет, экзамен |
| Лабораторные работы | Решение задач, зачет |
| ОргСРС | Проверка домашних заданий |
V. ПРОТОКОЛ СОГЛАСОВАНИЯ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ
| Наименование дисциплин, изучение которых опирается на данную дисциплину | Наименование кафедры, с которой проводится согласование рабочей программы | Предложения об изменениях в рабочей программе: подпись зав. кафедрой, с которой проводится согласование | Принятое решение (протокол, дата) |
| Курсы по выбору, курсовые и дипломные работы | |||
VI. ЛИСТ ИЗМЕНЕНИЙ И ДОПОЛНЕНИЙ, ВНЕСЕННЫХ В РАБОЧУЮ ПРОГРАММУ
| Дополнения и изменения | Номер протокола, дата пересмотра, подпись зав. кафедрой | Дата утверждения и подпись декана |