Основные тригонометрические функции. ЕГЭ. Преобразование тригонометрических выражений. Тригонометрическая функция числового аргумента. Радиан. Синус угла. Математика. Тригонометрические соотношения. Формулы приведения. Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: ut2018@protonmail.com    
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии







Основные тригонометрические функции. ЕГЭ


Вопросы, связанные с тригонометрией, задают на экзаменах каждому поступающему. Ниже мы остановимся лишь на некоторых особенно важных вопросах тригонометрии. При этом предполагается, что материал программы вступительных экзаменов уже известен в объеме школьных учебников.


На приемных экзаменах часто предлагаются различные задачи на преобразование тригонометрических выражений и доказательство тригонометрических соотношений.


Традиционными на вступительных экзаменах являются задачи, в которых требуется решать тригонометрические уравнения.


Несколько реже предлагаются системы тригонометрических уравнений. Мы сделаем некоторые замечания общего характера, я также разберем некоторые примеры.


Определения тригонометрических фунций


Поступающие хорошо знают определения тригонометрических функций угла.


Однако, как и все элементарные функции, изучаемые в алгебре, тригонометрические функции рассматриваются в конечном итоге как функции числового аргумента.


Между тем на экзаменах иногда проявляется непонимание того, что такое, скажем, синус заданного числа.


На вопрос, что такое sin π, обычно немедленно следует ответ: sin π = 0. Но речь идет не о том, чему равна величина sin π, а о том, что означает этот символ, как надо понимать эту запись: sin π. Именно, sin π, т. е. синус числа п, есгь синус угла в π радиан, т. е. угла в 180°.


К определению тригонометрических функций числового аргумента мы подходим постепенно. Сначала эти функции определяются как функции произвольного (положительного или отрицательного угла. Затем введение радианного измерения углов позволяет нам каждому действительному числу а поставить в соответствие определенный угол величиной в а радиан и, обратно.


Каждому углу — однозначно определяемое действительное число, его величину в радианах.


Наконец,


мы определяем тригонометрические функции числового аргумента: тригонометрическая функция числа а есть эта же тригонометрическая функция угла величиной в x радиан.


Таким образом, по заданному числу находим соответствующий ему угол, а для каждого угла тригонометрические функции уже были определены.


Следовательно, например, sin 10 — это синус угла в 10 радиан. Иными словами, мы должны взять систему координат Оху, единичный круг с центром в начале координат и найти на окружности такую точку М, что вектор ОМ составляет с положительным направлением оси Ох угол в 10 радиан (около 570°), измеряемый против часовой стрелки1). Тогда ордината точки М будет синусом угла в 10 радиан, т. е. она равна sin 10.


Мы видим, таким образом, что в окончательном определении тригонометрических функций никакие углы не участвуют — устанавливается соответствие между числами.


Привлечение углов является лишь вспомогательным, промежуточным этапом, необходимость введения которого диктуется лишь методическими соображениями.


Здесь уместно упомянуть о распространенном заблуждении будто при измерении угла в градусах мы получаем именованное число, а при измерении в радианах — отвлеченное. На самом деле при любом измерении всегда получается именованное число — будь то 5 км, 283 или 10 радиан.


То, что после результата измерения угла в радианах мы часто не упоминаем наименования единицы,— говорим «угол равен Зπ», — является просто условностью, всеобщим соглашением.


Обычно у учащихся возникает следующий вопрос: почему для определения тригонометрических функций числового аргумента нужно использовать именно радианное измерение углов?


Почему, например, нельзя определить синус числа а как синус угла величиной в а градусов? Конечно, в принципе такое определение возможно, но по ряду причин оно является неудобным, нецелесообразным.


К сожалению, мотивы, из-за которых такое определение нецелесообразно, невозможно объяснить, оставаясь в пределах школьного курса математики. Однако именно из-за этих причин в математике принимается как раз то определение тригонометрических функций числового аргумента, которое дается в школьных учебниках.


Поступающие иногда используют символ бесконечность. В частности, очень популярна бессмысленная формула или ее словесное выражение: «Тангенс прямого угла равен бесконечности». Между тем эти. выкладки лишены смысла.


Обилие формул очень затрудняет поступающим изучение тригонометрии.


Необходимо прежде всего выучить все тригонометрические соотношения, предусмотренные программой экзамена ЕГЭ, разобрать и осмыслять их доказательства.


Следует иметь в виду, что умение вывести нужную формулу — большее достоинство, чем простое знание формул наизусть.


Любую из тригонометрических формул можно довольно быстро получить, если твердо знать определения и основные свойства функций sin x, cos x, tg x, ctg x, и формулы сложения.


На этой базе легко вывести формулы приведения, формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму и обратно и т. д.


С другой стороны, не следует переоценивать возможность вывода любой формулы и совершенно не стараться их запомнить: если на письменном экзамене, прежде чем преобразовать, скажем, тригонометрическое уравнение, каждый раз выводить нужную формулу, то все время уйдет именно на это.


Поэтому круг формул, находящихся, как говорят, в активной памяти, должен быть достаточно широк.


Выводы многих формул могут быть приведены несколькими различными способами. Поступающий волен выбирать тот способ, который ему нравится больше, лишь бы, естественно, он был верен. В частности, на приводимые в учебниках доказательства формул следует смотреть как на один из возможных вариантов их вывода; очень хорошо, если поступающий сможет предложить другое верное обоснование той или иной формулы.


При этом желательно зсегда выбирать наиболее простые способы рассуждений. Необходимо только следить за тем, чтобы при выводе некоторой формулы мы не опирались на другую, получающуюся в свою очередь с использованием доказываемой.


Обратим внимание на довольно распространенную путаницу в понимании знака ± в формулах.


Одни понимают этот знак в том смысле, что «синус пополовинного угла может принимать два значения», другие считают, что надо выбирать лишь одно из этих значений (т. е. соответствующее либо знаку плюс, либо знаку минус), но не могут точно объяснить, когда какое значение следует брать.


На самом же деле при любом фиксированном x мы должны в формуле выбрать либо значение, соответствующее знаку плюс, либо значение, соответствующее знаку минус (но отнюдь не оба значения одновременно!).


Какое именно из этих значений брать — зависит от того, в какой четверти лежит угол π/2: если он оканчивается в первой или второй четвертях, то следует брать значение со знаком плюс, если в третьей или четвертой — со знаком минус.


С аналогичной ситуацией мы сталкиваемся и в некоторых задачах, где требуется вычислить значение одного тригонометрического выражения, зная величину другого выражения.


Следует помнить, что по значению одной тригонометрической функции некоторого угла однозначно определяются, вообще говоря, только абсолютные величины других функций этого угла.


Для определения же самих величин этих функций нужно знать, например, в какой четверти расположен этот угол.


Не все поступающие умеют находить те значения аргумента, при которых та или иная формула верна.


Часто они говорят: «Все выводимые в учебнике тригонометрические формулы представляют собой тождества, т. е. справедливы при всех значениях аргументов». Это, однако, совсем не так.


Тригонометрические формулы справедливы лишь для допустимых значений аргументов.


В частности, формула sin 2x = 2sinx cosx действительно верна для произвольного значения x, тогда как формула tg(a)ctg(a)=1 имеет смысл яишь для значений а, отличных от кπ/2, где к — целое число.


Таким образом, выписывая какую-либо тригонометрическую формулу, всегда следует помнить, при каких значениях входящих в нее букв она справедлива.


Для отыскания этих значений следует найти значения аргументов, при которых имеет смысл каждая функция, входящая в формулу.


Если при некотором значении аргумента хотя бы одна из функций теряет смысл - это аначение аргумента должно быть отброшено.


Можно привести и другие примеры тригонометрических формул, левая а правая части которых имеют различные области допустимых значений. Таковы, например, формулы, выражающие синус и косинус через тангенс половинного угла, формула тангенса суммы, формула тангенса двойного угла. Подчеркнем, что этот факт имеет большое значение в вопросах, связанных с потерей и приобретением решений уравнений




Список рекомендуемой литературы:


1. ЕГЭ 2019. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов + 800 дополнительных заданий части 2. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


2. ЕГЭ 2019. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов заданий. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


3. Г.В.Дорофеев, М.К.Потапов, Н.Х.Розов ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗЫ (избранные вопросы элементарной математики). - М:Наука, 1975