Соотношения между тригонометрическими функциями. ЕГЭ. Математика. Тригонометрические формулы. Тригонометрические уравнения. Метод отбора корней. Система тригонометрических уравнений. Период тригонометрической функции. Замена неизвестного. Разложение на множители. Решение тригонометрических уравнений

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: ut2018@protonmail.com    
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии







Тригонометрические формулы. ЕГЭ


Одно из важнейших умений, которое необходимо развить при изучении темы «Тригонометрия», — это умение выполнять достаточно сложные преобразования тригонометрических выражений.


Для этого следует для начала расширить, по сравнению со школьным учебником, запас основных, «рабочих» формул.


Так,


для проверки справедливости формул достаточно применить к стоящим в правых частях тригонометрическим функциям соответствующие формулы, выражающие функцию от суммы или разности аргументов через функции отдельных аргументов


Вычисление и сравнение значений тригонометрических функций


В частности, сюда относятся задачи, в которых требуется определить знак тригонометрического выражения.


При этом следует различать задачи, в которых тригонометрические функции имеют аргумент, заданный градусной мерой, и задачи, в которых аргумент — число.


Графики периодических функций. Периодичность и непериодичность


Преобразование тригонометрических выражений


К этому виду задач мы относим задачи, в которых требуется доказать неравенство (упростить выражение), содержащее тригонометрические функции или их числовые значения


Используется известный по алгебраическим задачам арсенал формул и методов, пополненный специфическими тригонометрическими формулами.


Следует заметить, что


во многих случаях упрощение тригонометрических выражений не является самоцелью, а представляет собой существенный элемент решения задач иных типов (например, тригонометрических уравнений).


Тригонометрические уравнения


Общие положения


Основная схема, которой мы будем руководствоваться при решении тригонометрических уравнений, совпадает со схемой, описанной нами ранее.


Напомним ее.


Решение заданного уравнения сводится к решению элементарных уравнений.


Средства решения — преобразования, разложение на множители, замена неизвестного.


Ведущий принцип — не терять корней.


(Что с возу упало, то пропало.)


Это означает, что


при переходе к следующему уравнению (уравнениям) мы не опасаемся появления лишних (посторонних) корней, а заботимся лишь о том, чтобы каждое последующее уравнение нашей «цепочки» (или совокупность уравнений в случае ветвления) являлось следствием предыдущего


Одним из возможных методов отбора корней, отсеивания лишних является проверка


Сразу заметим, что


в случае тригонометрических уравнений трудности, связанные с отбором корней, с проверкой, как правило, резко возрастают (по сравнению с уравнениями алгебраическими). Ведь проверять приходится серии, состоящие из бесконечного числа членов.


Элементарные тригонометрические уравнения — это уравнения вида f(kx + b) = а, где f(x) — одна из тригонометрических функций: sin x, cos x, tg x, ctg x.


Особо следует сказать о замене неизвестных при решении тригонометрических уравнений.


В большинстве случаев после нужной замены получается алгебраическое уравнение. Более того, не так уж редки уравнения, которые, хотя и являются тригонометрическими по внешнему виду, по существу таковыми не оказываются, поскольку уже после первого шага — очевидной замены неизвестного — превращаются в алгебраические, а возвращение к тригонометрии происходит лишь на этапе решения элементарных тригонометрических уравнений.


Еще раз напомним:


замену неизвестного следует делать при первой возможности


Получившееся после замены уравнение необходимо решить до конца, включая этап отбора корней, а уж затем возвратиться к первоначальному неизвестному


Итак, решение алгебраического уравнения — очень часто встречающийся этап решения уравнений самых различных видов


Именно поэтому навыки, умения решать алгебраические уравнения являются фундаментальными и должны быть отработаны в первую очередь


Одна из особенностей тригонометрических уравнений состоит в том, что ответ во многих случаях может быть записан различными способами


Полезно запомнить следующую рекомендацию: если на решении уравнения sin x = а работа не заканчивается, необходимо еще произвести исследование, отбор корней, то наиболее удобна форма записи, указанная в пункте 1. (Аналогичную рекомендацию следует дать и для уравнения cos x = a.)


Приведенный пример и указанные различные формы записи ответа могут показаться надуманными. Однако на практике вполне возможны уравнения (и с такими примерами нам придется сталкиваться неоднократно), которые могут быть решены разными способами, приводящими к различным элементарным уравнениям.


Преобразование уравнений, разложение на множители


Рассмотренное уравнение иллюстрирует весьма типичную схему решения — разложение уравнения на множители за счет попарной группировки и использования формул.


Другая схема состоит из двух этапов. На первом произведения преобразуются в суммы. На втором, наоборот, суммы преобразуются в произведения


Замена неизвестного


Большей частью замена неизвестного в тригонометрических уравнениях делается с целью сведения данного тригонометрического уравнения к уравнению алгебраическому, в частности к квадратному


При помощи замены u = tg x могут быть сведены к алгебраическим уравнения, однородные относительно sin х и cos х, или уравнения, приводящиеся к однородным


При помощи формул теоретически почти любое тригонометрическое уравнение может быть сведено к алгебраическому. Однако практическая значимость этих формул зачастую невелика из-за возникновения алгебраических уравнений высоких степеней при их использовании


Отбор корней в тригонометрических уравнениях


Проблема отбора корней, отсеивания лишних корней при решении тригонометрических уравнений весьма специфична и обычно оказывается более сложной, чем это имело место для уравнений алгебраических


Приведем решения уравнений, иллюстрирующие типичные случаи появления лишних (посторонних) корней и методы «борьбы» с ними.


Лишние корни могут появиться вследствие того, что в процессе решения произошло расширение области определения уравнения


С появлением лишних корней вследствие возведения обеих частей в квадрат мы часто встречались при решении алгебраических уравнений


Итак, основная схема отбора корней состоит в следующем.


Находится наименьший общий период всех тригонометрических функций, входящих в уравнение. На этом периоде отбираются корни, а затем оставшиеся корни периодически продолжаются


В частности, если период равен 2π, то основная рекомендация — «обойти» тригонометрический круг.


Несколько иной прием был использован при решении уравнения: найдена общая формула для запрещенных значений х, после чего эти значения удаляются из выписанной серии.


Системы тригонометрических уравнений.


Запись ответа в системах тригонометрических уравнений


Вообще,


если система тригонометрических уравнений свелась к системе, состоящей из элементарных тригонометрических уравнений (т. е. к системе, в которой все уравнения имеют вид f(u) = а, где f(u) есть sin u, cos u, tg u или ctg u), то при решении каждого из этих элементарных уравнений необходимо использовать свой параметр


Для сравнения напомним, что при решении тригонометрических уравнений с одним неизвестным мы, как правило, обходились одним параметром.


Точнее, если уравнение распадалось на элементарные (возникало объединение элементарных уравнений, а не пересечение — система; соединяющим был союз «или», а не «и»), то при решении каждого из них мы использовали один и тот же параметр


Возможно, не стоило бы уделять этой детали столько внимания, поскольку математическая сторона здесь довольно прозрачна, если бы не многочисленные и типичные ошибки, допускаемые при решении несложных систем тригонометрических уравнений, ошибки тем более обидные, что допускаются они очень часто на заключительной стадии — записи ответа.


Проблемы, связанные с записью ответа в системах тригонометрических уравнений, не исчерпываются их многопараметричностью.


Несколько стандартных приемов решения систем тригонометрических уравнений


Основные методы решения систем тригонометрических уравнений те же, что и алгебраических систем. Прежде всего это — исключение неизвестных и замена неизвестных


Исключать неизвестные, как мы уже знаем, можно при помощи двух основных приемов. Можно из одного уравнения выразить какое-то неизвестное (функцию от него) и подставить в остальные


Так была решена система. Можно преобразовывать данные уравнения и составлять затем комбинации, в которых число неизвестных уменьшается, как это было сделано при решении системы


В большинстве случаев замена неизвестных в системах тригонометрических уравнений делается с целью свести данную тригонометрическую систему к алгебраической


Нестандартные тригонометрические уравнения


В практике экзамена ЕГЭ не так уж редко встречаются уравнения, решение которых основывается на ограниченности функций sin x и cos х


Список рекомендуемой литературы:


1. ЕГЭ 2019. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов + 800 дополнительных заданий части 2. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


2. ЕГЭ 2019. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов заданий. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


3. Математика для поступающих в вузы : учеб. пособие / И. Ф. Шарыгин. — 6-е изд., стереотип. — М. : Дрофа, 2006. — 479с.