Основные тригонометрические тождества. ЕГЭ. Математика. Системы тригонометрических уравнений. Метод разложения на множители. Метод замены неизвестного. Введение вспомогательного угла. Формула двойных углов. Формулы приведения. Решение прямоугольных треугольников. Гипотенуза. Противолежащий катет. Радиан

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org    
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии

Основные тригонометрические тождества. ЕГЭ

Предмет тригонометрии

Слово «тригонометрия» искусственно составлено из греческих слов: «тригонон» — треугольник и «метрезис» — измерение (соответствующим русским термином было бы «треугольникомерие»).

Основная задача тригонометрии состоит в решении треугольников, т. е. в вычислении неизвестных величин треугольника по данным значениям других его величин

Так, в тригонометрии решают задачу о вычислении углов треугольника по данным его сторонам, задачу о вычислении сторон треугольника — по площади и двум углам и т. д.

Так как любую вычислительную задачу геометрии можно свести к решению треугольников, то тригонометрия охватывает всю планиметрию и стереометрию и широко применяется во всех областях естествознания и техники

Учение о решении сферических треугольников называется сферической тригонометрией; в противоположность этому учение о решении обычных треугольников называют плоской или прямолинейной тригонометрией.

Углы произвольного треугольника нельзя связать непосредственно с его сторонами с помощью алгебраических соотношений. Поэтому в тригонометрии вводятся, кроме самих углов, еще новые тригонометрические величины

Эти величины уже можно связать со сторонами треугольника простыми алгебраическими соотношениями. С другой стороны,

по данному углу можно вычислить соответствующее значение тригонометрической величины, и обратно

Значение каждой тригонометрической величины изменяется с изменением угла, которому она соответствует: другими словами, тригонометрическая величина есть функция угла. Отсюда наименование: тригонометрические функции

Между различными тригонометрическими функциями существуют важные зависимости. Использование их позволяет сокращать и облегчать вычисления

Наряду с градусной мерой углов в тригонометрии применяется и другая мера, называемая радианной. В ней за единицу измерения принимается острый угол, под которым видна из центра окружности ее дуга, равная радиусу. Такой угол называется радианом

Величина этого угла не зависит от радиуса окружности и от положения дуги на окружности. Так как полуокружность видна из центра под углом 180°.

Радианной мерой любого угла является отношение этого угла к радиану

Таким образом, радианная мера любого угла есть отношение длины дуги, описанной произвольным радиусом из центра О и заключенной между сторонами угла, к радиусу этой дуги

Введение радианной меры угла позволяет придать многим формулам более простой вид

И в радианной и в градусной системе угол измеряется единицей угла. То, что наименование в одном случае (для градуса) проставляется, а в другом (для радиана) подразумевается, не играет ровно никакой роли

Радианная мера угла, выражаясь отношением двух длин, совершенно не зависит от выбора единицы длины

Но и градусная мера угла не зависит от этого выбора; более того, она тоже есть отношение двух длин, именно, длины дуги, описанной из вершины угла и заключенной между его сторонами, к части дуги окружности того же радиуса. Это отношение ничем не хуже отношения той же дуги к ее радиусу.

Тригонометрические функции острого угла

Решение всяких треугольников в конечном счете сводится к решению прямоугольных треугольников

В прямоугольном же треугольнике отношение двух его сторон, например катета a к гипотенузе с, всецело зависит от величины одного из острых углов

Отношения различных пар сторон прямоугольного треугольника и называются тригонометрическими функциями его острого угла

По отношению к углу А эти функции получают следующие названия и обозначения.

Синус: sin A - отношение противолежащего катета к гипотенузе. Косинус: cos A - отношение прилежащего катета к гипотенузе. Тангенс: tg A - противолежащего катета к прилежащему. Котангенс: ctg A - отношение прилежащего катета к противолежащему

Секанс: sec А - отношение гипотенузы к прилежащему катету. Косеканс: cosec А - отношение гипотенузы к противолежащему катету

Углы 0° и 90°, строго говоря, не могут входить в прямоугольный треугольник в качестве его острых углов. Однако при расширении понятия тригонометрической функции рассматриваются значения тригонометрических функций и для этих углов

С другой стороны, один из острых углов треугольника может сколь угодно приблизиться к 90°, другой будет тогда приближаться к нулю; тогда соответствующие тригонометрические величины будут приближаться к значениям, указанным в таблице

Нахождение тригонометрической функции по углу

Синус и косинус.

В таблице даны синусы всех углов от 0° до 90° через 1' с точностью до четвертого знака. Так как синус угла равен косинусу дополнительного угла, то по той же таблице можно найти косинусы всех углов от 90° до 0° через 1 '.

При нахождении синуса число градусов прочитывается в левом столбце «градусы», а округленное число минут 0', 10', 20', 30', 40', 50') — сверху (об этом напоминает надпись «синусы» над таблицей); при нахождении косинуса число градусов прочитывается в правом столбце «градусы», а округленное число минут — снизу (об этом напоминает надпись «косинусы» под таблицей). На пересечении соответствующей строки и столбца находим основной результат. На недостающее число минут (от 1 до 9) делается поправка.

Она берется в разделе «поправки» в той же строке, где взят основной результат. Если ищется синус, то поправка прибавляется к основному результату; если же ищется косинус, то поправка вычитается из основного результата (так как при увеличении угла синус увеличивается, а косинус уменьшается).

Решение прямоугольных треугольников

По двум сторонам.

Если даны две стороны прямоугольного треугольника, то третья сторона может быть вычислена по «теореме Пифагора»

Определение же острых углов производится по одной из трех первых формул, в зависимости от того, какие стороны даны. Если, например, даны катеты а, b, то острый угол А определяется по формуле, а острый угол В находится по формуле В = 90° - А,

По стороне и острому углу.

Если дан острый угол А, то B найдется по формуле B = 90°—А.

Стороны же можно найти по формулам, которые можно представить в виде: a = c sin A, b = c cos A, a = b tg A, b = с sin B, а = с cos B, b = a tg B

Выбирать нужно такие формулы, в которые входит данная или уже найденная сторона.

Таблица логарифмов тригонометрических функций

При решении прямоугольных треугольников приходится всегда выполнять умножение и деление. Если требуемая степень точности значительна (например, если перемножаемые числа четырехзначны), то эти действия отнимают много времени; более того, они утомительны, и потому вероятность ошибки увеличивается. Выполняя их с помощью логарифмов, мы экономим время и силы. При логарифмических вычислениях вместо таблицы тригонометрических величин пользуются таблицей их логарифмов, что дает большую экономию времени (вместо того, чтобы сначала искать синус угла по таблице тригонометрических величин, а затем логарифм этого синуса по таблице логарифмов, находят прямо логарифм синуса).

Нахождение угла по логарифму тригонометрической функции

Пробегая глазами соответствующие столбцы таблицы (значения каждой функции размещаются в двух столбцах), находим либо нужное нам значение, либо ближайшее к нему; в последнем случае выписываем табличную разность. Если наименование данной тригонометрической функции стоит сверху, то градусы и десятки минут прочитываем слева; если же снизу, то — справа. Наконец, если это необходимо, находим поправку угла с помощью пропорционального расчета (для sin и tg поправка угла имеет тот же знак, что поправка логарифма тригонометрических функций; для cos и ctg — противоположный).

Практические применения решения прямоугольных треугольников

Для использования изложенных приемов решения задач на практике необходимо прежде всего хорошо освоиться с таблицами и научиться безошибочно находить по ним результаты.

Но этого мало; остаются еще две трудности. Первая — чисто геометрического характера.

Нужно научиться находить в данной геометрической фигуре простой способ выделения в ней прямоугольного треугольника

Другая трудность — наиболее существенная — состоит в том, чтобы конкретно поставленную задачу перевести на математический язык

Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла

Зная одну из тригонометрических величин некоторого острого угла, можно по формулам вычислить все остальные. Однако главное их значение состоит в том, что с их помощью можно, значительно упрощая вид многих общих формул, сократить процесс вычисления

Тригонометрические функции любого угла

Можно было бы построить всю тригонометрию, пользуясь только тригонометрическими величинами острых углов.

Однако тогда при решении косоугольных треугольников и в других вопросах, требующих применения тригонометрии, нужно было бы различать множество отдельных случаев одной и той же задачи, в зависимости от того, какова величина того или иного заданного угла.

Напротив, решение всех задач принимает единообразную форму, если следующим образом распространить понятие синус, косинус и т. д. на углы любой величины, не только заключенные между 0 и 180°, но и превосходящие 180°, не только положительные, но и отрицательные

Формулы приведения

Так называются формулы, дающие возможность: 1) находить численные значения тригонометрических функций и углов, превышающих 90°; 2) совершать преобразования, упрощающие вид формул

Все эти формулы верны для всяких углов а, хотя используются преимущественно в тех случаях, когда а — острый угол.

Все вышеприведенные формулы можно получить, пользуясь следующим правилом.

Формулы сложения и вычитания sin (a + р) = sin a cos p + cos a sin P; sin (a - p) = sin a cos p - cos a sin p; cos (a + P) = cos a cos P - sin a sin P; cos (a - P) = cos a cos p + sin a sin P

Формула двойных углов sin 2а = 2 sin а cos а

важные соотношения sin a sin Р = 1/2 (cos (а - Р) - cos (а + Р)); cos а cos P = 1/2 (cos (а - Р) + cos (а + Р)); sin a cos р = 1/2(sin (а + Р) + sin (а - р))

Этими формулами можно пользоваться, чтобы избежать умножения (при вычислениях без логарифмов ими часто пользуются в высшей математике, например при интегрировании тригонометрических функций).

Простейшие тригонометрические уравнения

Мы рассмотрим некоторые виды уравнений и систем, в которых неизвестные содержатся под знаком тригонометрических функций. Такие уравнения будем называть тригонометрическими уравнениями.

Решение тригонометрических уравнений сводится в конечном итоге (с помощью различных преобразований) к решению простейших тригонометрических уравнений: sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a

При решении этих уравнений введение вспомогательного неизвестного t по формуле t=sin х (или соответственно t=cos х, t=tgx, t=ctgx) приводит к уравнению, решив которое мы приходим к рассмотрению простейших тригонометрических уравнений

Введение вспомогательного угла

Рассмотрим решение уравнений вида a cos х + b sin x = с. Наиболее простой способ решения уравнения основан на введении вспомогательного угла

Метод замены неизвестного

Мы рассмотрели метод замены неизвестного при решении уравнений. Здесь мы отметим три наиболее употребительных приема введения нового неизвестного при решении тригометрических уравнений.

Замена f = sin x + cos х. Пусть дано некоторое тригонометрическое уравнение F(x) = 0. Обозначим через g(x) функцию sin x+cos x и введем новое неизвестное t = g(x)== sin х + cos х

Если нам удастся выразить функцию F (х) через t, т.е. представить ее в виде F(x)=f(g(x)), то решение уравнения F(x) = 0 будет сведено к решению уравнения f(t) = 0

Разумеется,

не всегда левую часть F (х) удается достаточно просто выразить через t=sin x+cos x

Мы рассмотрим один случай, когда это удается просто сделать.

Ясно поэтому, что

если левая часть тригонометрического уравнения F(x) = 0 выражается через sin x + cosx и sin 2x, т. е. F(x) = f(sin x + cos x, sin 2х), то мы легко можем выразить F (х) через t

Итак, если левая часть тригонометрического уравнения F(x) = 0 может быть выражена через sin x+cos x и sin 2x, то целесообразно применить замену неизвестного по формулам

Метод разложения на множители

Одним из наиболее употребительных методов решения тригонометрических уравнений является метод разложения на множители

Решение тригонометрических уравнений методом разложения на множители

Иногда, прежде чем применять метод разложения на множители, приходится использовать другие преобразования, например преобразование произведения тригонометрических функций в сумму

Нам удалось легко решить уравнение с помощью приема, основанного на переходе от произведения тригонометрических функций к сумме.

Оценка левой и правой частей уравнения

Предварительная оценка левой или правой частей уравнения иногда помогает решить уравнение или убедиться в том, что уравнение не имеет решений

Системы тригонометрических уравнений

Тригонометрические систмы и наиболее употребительные методы их решения, основываясь на общей теории систем уравнений.

Системы вида sin x sin y = а, cos x cos y = b. Складывая и вычитая уравнения системы, получаем равносильную систему cos(x—у)= а + b, cos (х+у) = b—а. Тогда х-у= ± arccos(a+b)+ 2πk, х+y= ± arccos(b — a) + 2πn

Таким образом, в общем случае нахождение решений системы, несмотря на кажущуюся простоту этой системы, является весьма трудной задачей

Заметим, что уравнение вместе с одним из уравнений системы образуют систему, являющуюся следствием исходной системы. Поэтому возможно появление посторонних корней, которые выявляются проверкой (подстановкой в исходную систему)

Список рекомендуемой литературы:

1. ЕГЭ 2019. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов + 800 дополнительных заданий части 2. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН

2. ЕГЭ 2019. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов заданий. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН

3. ЛЕКЦИИ И ЗАДАЧИ ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ. - В.Г. Болтянский, Ю.В. Сидоров, М.И. Шабунин. Изд-во: Наука. 1974.

4. Справочник по элементарной математике / М. Я. Выгодский. — М: ACT: Астрель, 2006. — 509.