Свойства тригонометрических функций. ЕГЭ. Математика. Обратные тригонометрические функции. Период функции. Синусоида. Ось абсцисс. Ось ординат. График тангенса. Графическое решение неравенств. Графическое решение уравнений. Координаты точек. Тригонометрические функции. График синуса. Радиан. Угол. Периодичность

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: ut2018@protonmail.com    
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии







Тригонометрические функции. ЕГЭ


Периодичность. Определение тригонометрических функций.


Для построения графика какой-либо тригонометрической функции (например, синуса) переменного угла нужно на оси абсцисс задать отрезок, изображающий какой-либо определенный угол (например, 90°), а на оси ординат — отрезок изображающий какое-либо число (например, 1)


Об одинаковости масштабов на обеих осях речь может идти лишь только после того, как установлено, какой угол принимается за единицу измерения.


Лишь тогда число х, измеряющее угол, и число у, дающее его синус, можно изобразить отрезками, пропорциональными этим числам


Простейшие функции и их графики


При построении графиков принято за единицу измерения угла брать радиан


Тогда функция у = sin x (под х подразумевается наименование «радианов») изображается графиком (масштабы на осях одинаковы).


Если за единицу измерения угла принять полрадиана, то, сохраняя те же масштабы, придется график подвергнуть растяжению вдоль оси абсцисс в отношении 2:1.


Линия, являющаяся графиком функции у = sin x, называется синусоидой


График функции у = cos x тоже синусоида; она получается из графика у = sin х смещением вдоль ОХ влево


При смещении графика синуса или косинуса на отрезок 2π (вправо или влево) он совмещается сам с собой


Если график некоторой функции у = f(x) при смещении его на некоторый отрезок вдоль оси абсцисс совмещается сам с собой, то функция называется периодической; число р, измеряющее этот отрезок, называется периодом функции f(x)


Это словесное определение кратко выражается формулой f(x + р) = f(x).


Если р есть период функции f(x), то 2p, Зр, -2p, -Зр и т. д. — тоже периоды


Функции у = tg x и y = ctg x имеют сверх того период π так как tg (х ± Аπ) = tg x


График тангенса неограниченно приближается к прямым, параллельным оси ординат (но не достигает этих прямых)


Аналогичную роль для графика котангенса играют прямые, отстоящие от оси OY на ±π, ±2π, ±3π, и т. д., и сама ось OY.


Обратные тригонометрические функции


Определение обратных тригонометрических функций.


Здесь даны графики функций у = Arcsin х, у = Arccos x , у = Arctg х, у = Arcctg x.


Они получаются из графиков функций у = sin x и т. д. перегибом чертежа около биссектрисы первого координатного угла.


Графики функций у — Arcsin x и у = Arccos х целиком помещаются внутри вертикальной полосы, ограниченной прямымих x = +1 и x = -1 (эти функции при |х| > 1 не имеют действительных значений)


Каждая вертикальная прямая, лежащая внутри упомянутой полосы, пересекает график бесчисленное множество раз.


То же для графиков у — Arctg x и у = Arcctg х — только вертикальную прямую можно взять где угодно.


В этом сказывается многозначность обратных тригонометрических функций.


Графическое решение уравнений


Графическое изображение функций дает возможность легко находить приближенное решение любого уравнения с одним неизвестным и системы двух уравнений с двумя неизвестными


Чтобы найти решение системы двух уравнений с двумя неизвестными х, у, мы каждое из уравнений рассматриваем как функциональную зависимость между переменными х, у и строим для этих двух зависимостей два графика


Координаты точек, общих для двух графиков, дают искомые значения неизвестных х, у (корни данной системы уравнений)


Чтобы найти решение уравнения с одним неизвестным, можно, перенеся все члены в левую часть, представить его в виде f(x) = 0. Строим график функции у = f(x). Абсциссы точек пересечения этого графика с осью абсцисс будут корнями данного уравнения


Графическое решение неравенств


Графическое решение неравенств (как и уравнений) обладает не особенно большой точностью. Но наглядность и легкая обозримость, свойственная графическому методу, при решении неравенств (и особенно их систем) ценны еще больше, чем при решении уравнений


Способы решения — те же, что для уравнений; только решения изображаются отрезками, а не точками.


Список рекомендуемой литературы:


1. ЕГЭ 2019. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов + 800 дополнительных заданий части 2. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


2. ЕГЭ 2019. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов заданий. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


3. Справочник по элементарной математике / М. Я. Выгодский. — М: ACT: Астрель, 2006. — 509.