Формулы приведения. ЕГЭ. Математика. Равносильные преобразования уравнений. Тригонометрические тождества. Формулы двойного аргумента. тригонометрические функции. Обратные тригонометрические функции. ОДЗ. Корни уравнения. Разложение на множители. Замена переменных. Аргумент. Тригонометрические формулы

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: ut2018@protonmail.com    
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии







Формулы приведения. ЕГЭ


sin (π/2 — а) = cos а, cos (π/2 — а) = sin a


С помощью этих формул получаются и другие формулы приведения. Например, sin (π/2 + а) = cos а, cos (3π/2 + а) = sin a


Равносильные преобразования уравнений с применением тригонометрических формул


Если в уравнение входят тригонометрические функции от различных аргументов или долей аргумента x, например cos 2x,

sin x, — и т.д., то обычно с помощью тригонометрических тождеств все функции, входящие в уравнение, приводятся к одному и тому же аргументу


Формулы двойного аргумента sin 2а = 2 sin a cos a


формулы для синуса и косинуса суммы и разности углов: sin(a ± b) = sin a cos b ± cos а sin b, cos(a ± b) = cos a cos b - ± sin a sin b


ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ. ЕГЭ


Для решения уравнений, содержащих тригонометрические функции, применимы равносильные преобразования общего характера.


Преобразования, допускающие появление посторонних корней, обычно не используются. Это связано с тем, что множество решений тригонометрического уравнения, как правило, состоит из одной или нескольких бесконечных серий решений и преобразования, для которых получающееся уравнение является следствием предыдущего, могут приводить к появлению бесконечного множества посторонних корней.


Разложение на множители.


Часто используется прием, связанный с разложением на множители левой части уравнения F(x) = 0 и заменой его на равносильную совокупность уравнений


Замена переменных.


Уравнение P(sin x) = 0, где Р(у) — многочлен, и аналогичные ему решаются заменой переменной так же


Уравнении вида P(sinx, cos ж) = 0. Встречаются уравнения вида P(sin x; cos x) = 0, где Р(у, z) — многочлен от двух переменных у и z. Уравнения, в которые sin х входит только в четных степенях.


Если в уравнение sin(x) входит только в четных степенях, то можно получить уравнение вида Q(cosx) = 0, где Q(t) — многочлен от одной переменной


Аналогично следует поступать и в случае, когда уравнение содержит cos(х) только в четных степенях.


Некоторые тригонометрические уравнения можно решить различными методами и не всегда при различных способах решения форма записи

ответа будет одинаковой


Особенно часто это происходит, если в записи ответа участвуют arcsin a, arccos b, arctg t или arcctg p.


Между обратными тригонометрическими функциями существуют определенные соотношения, поэтому разные формы записи ответа могут быть приведены друг к другу


Преобразования уравнений с применением тригонометрических формул, справедливых на некотором множестве.


Иногда при решении тригонометрических уравнений приходится использовать формулы, справедливые лишь на некотором множестве М действительных чисел, а не для всех значений х


Применяя каждую из этих формул на том множестве из ОДЗ решаемого уравнения, на котором эти формулы являются тождествами, получим уравнение, равносильное исходному на множестве


Решив полученное уравнение и отобрав его корни, которые принадлежат множеству, найдем все корни исходного уравнения на этом множестве. Затем надо еще найти решение уравнения на той части ОДЗ — множестве М2, — которая остается после выделения из ОДЗ множества M1. Как правило, на этом множестве М2 факт наличия корней или установления, что их нет, проверяется подстановкой значений х из М2 в уравнение.


Заметим, что если при решении уравнения формально применить любую из формул так, что левая часть этой формулы будет заменена

правой частью, то возможна потеря корней исходного уравнения. Поэтому такие замены недопустимы


Если при решении уравнения формально применить любую из формул так, что правая часть этой формулы будет заменена левой, то возможно приобретение посторонних корней. Поэтому после такой замены необходима проверка найденных корней


Решение уравнений с применением различных приемов.


При решении многих уравнений, предлагаемых на вступительных экзаменах в вузы, приходится применять комбинации различных приемов


Уравнения с дополнительными условиями.


В некоторых задачах требуется найти решения уравнения, удовлетворяющие дополнительным условиям. Как правило, такие задачи сводятся к решению уравнения и отбору корней, удовлетворяющих этому условию


Решение уравнений нестандартными способами.


При решении некоторых уравнений знание ОДЗ уравнения и применение некоторых оценок позволяет найти все его корни или доказать, что их нет


Уравнении, содержащие неизвестную в основании логарифма.


Если в основании логарифма есть х, то при определении ОДЗ уравнения надо учитывать, что основание логарифма всегда больше нуля и не равно единице.


Уравнения, содержащие неизвестную в основании и показателе степени.


Если х входит в основание и показатель степени, то принято считать, что основание степени должно быть больше нуля. Это надо учитывать при нахождении ОДЗ уравнения.


Уравнении с параметрами.


На экзаменах ЕГЭ довольно часто предлагается решить уравнение с параметром. Это означает, что надо для каждого значения параметра решить соответствующее уравнение




Список рекомендуемой литературы:


1. ЕГЭ 2019. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов + 800 дополнительных заданий части 2. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


2. ЕГЭ 2019. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов заданий. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


3. Конкурсные задачи по математике: Справ, пособие. — Изд. 3-е, стер. — Потапов М. К., Олехник С. Н., Нестеренко Ю. В. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 416 с.