Тождественные преобразования тригонометрических выражений. ЕГЭ. Математика. Решение уравнений. Системы уравнений с параметрами. Тригонометрические системы уравнений. Тригонометрические формулы. Тождественные преобразования уравнения. Равносильность уравнений. Суперпозиция функций. Тригонометрические функции

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: ut2018@protonmail.com    
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии







Преобразования, связанные с применением тождественных равенств. ЕГЭ


Решение уравнений с применением тождественных равенств основано на утверждении о равносильности уравнений. Это утверждение позволяет использовать для проведения равносильных преобразований уравнений различные тождественные равенства, т. е. формулы, справедливые при всех действительных значениях переменного х


Преобразования, связанные с суперпозицией функций.


Рассмотрены уравнения f(x) = 0, где f(x) = p(g(x)) — сложная функция, являющаяся суперпозицией двух функций у = g(x) и у = p(g), причем функция у = p(g) — не обязательно квадратный трехчлен относительно g.


Для решения таких уравнений сначала решают уравнение p(t) = 0. Если это уравнение не имеет корней, то не имеет решений и уравнение p(g(x)) = 0.


РАВНОСИЛЬНОСТЬ УРАВНЕНИЙ НА МНОЖЕСТВЕ


Иногда, рассматривая уравнение, можно из каких-либо соображений сразу выделить область, содержащую все его корни, отбросив участки числовой прямой, в которых заведомо корней быть не может.


Допустим, что преобразования, выполняемые в процессе решения, сохраняют равносильность уравнений на этой выделенной области. Обозначим ее для определенности буквой М. Тогда, решив получившееся в конце концов простейшее уравнение или совокупность простейших уравнений и отобрав среди найденных чисел только те, которые лежат в М, можно утверждать, что отобранные числа составляют множество всех решений исходного уравнения.


Отметим также, что можно быть уверенным в сохранении равносильности уравнений на множестве М, если преобразования выполнялись по правилам.


Эти общие замечания мы поясним ниже рядом конкретных примеров. Разбираясь в каждом из них, полезно сравнивать ход рассуждений с общим планом решения.


Отметим, что очень часто бывает удобно взять в качестве М область допустимых значений уравнения.


Приведение подобных членов уравнения.


Нужно быть внимательным при уничтожении подобных членов, если эти подобные члены определены не на всей числовой прямой, ибо при этом преобразовании могут появиться посторонние корни


Освобождение уравнения от знаменателя.


Лишние корни могут появиться и при освобождении от знаменателя


Тождественные преобразования уравнения на множестве.


При решении уравнений часто приходится пользоваться утверждением о равносильности уравнений на множестве. При этом важную роль играют различные равенства, являющиеся тождествами лишь на каких-то множествах


Сокращение уравнения на общий множитель.


Иногда при решении уравнения F(x)f(x) = F(x)g(x) от этого уравнения переходят к уравнению f(x) = g(x), т. е. сокращают уравнение на общий множитель — функцию у = F(x), забывая о том, что при некоторых значениях х функция у = F(х) может обращаться в нуль или не иметь смысла


Это ошибка может привести как к потере корней исходного уравнения, так и к приобретению посторонних корней.


Подобные уравнения надо решать следующим образом:


1) найти ОДЗ уравнения F(x)f(x) = F(x)g(x); 2) переписать уравнение в равносильном виде F(x)(f(x) - g(x)) = 0;3) перейти от этого уравнения к равносильной ему на ОДЗ исходного уравнения совокупности уравнений F(x) = 0, f(x) - g(x) = 0;


4) решить эту совокупность уравнений на ОДЗ исходного уравнения; множество всех корней этой совокупности, каждый из которых принадлежит ОДЗ исходного уравнения, и есть множество всех корней исходного уравнения


Возведение обеих частей уравнения в четную степень.


Отметим еще раз, что


возведение в четную степень обеих частей уравнения сохраняет равносильность уравнений на множестве М, если: 1) обе части уравнения определены на множестве М; 2) обе части уравнения неотрицательны на множестве М


Может случиться так, что в уравнение входит несколько функций под знаком модуля. Тогда ОДЗ уравнения разбивают на большее количество областей, в каждой из которых все функции, входящие в заданное уравнение под знаком модуля, принимают или только неотрицательные, или только неположительные значения.


Затем в каждой из выделенных областей решают заданное уравнение, пользуясь указанным выше тождеством, и, объединяя множества решений, полученных в каждой области, находят множество решений исходного уравнения.


НЕРАВНОСИЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ


Переход к следствию


Одним из часто используемых приемов решения уравнений является замена уравнения его следствием, т.е. другим уравнением, вообще говоря, более простым, содержащим среди своих корней все корни предшествующего уравнения. Выполнив цепочку таких преобразований, получают одно или несколько простейших уравнений, среди корней которых содержатся все корни исходного уравнения. Решив эти простейшие уравнения, можно найти некоторое множество чисел — корней простейших уравнений, из которого с помощью проверки отбираются затем все корни исходного уравнения. Проверка, т.е. подстановка чисел, среди которых содержатся решения, в исходное уравнение, является неотъемлемой частью такого способа решения уравнений. Иногда он оказывается удобнее, чем выполнение равносильных преобразований.


Потеря решений уравнения


Были рассмотрены некоторые неравносильные преобразования уравнений, которые могут привести к приобретению корней. Однако имеются и преобразования, которые могут привести к потере корней.


Такие преобразования проводить недопустимо, ибо если посторонний корень можно отбросить после проверки, то потерянный корень никак нельзя восстановить.


К потере корней уравнения может также привести:


а) логарифмирование уравнения;


б) сокращение обеих частей уравнения на общий множитель;


в) применение некоторых тригонометрических формул и некоторые другие.


Подчеркнем еще раз, что


применение преобразований, при которых возможна потеря корней уравнения, недопустимо




ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ


Системы уравнений, содержащие тригонометрические функции, решаются известными методами.


Особенность состоит в том, что, как правило, такие системы имеют бесконечное множество решений, записываемое в виде серий решений, зависящих от целочисленных параметров


Метод подстановки.


Распространенным способом решения систем, содержащих тригонометрические функции, является метод подстановки


Введение новых неизвестных.


Иногда используется прием введения новых неизвестных


Рассуждения с числовыми значениями. При решении тригонометрических систем применяют рассуждения с числовыми значениями


СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ, РЕШАЕМЫЕ НЕСТАНДАРТНЫМИ МЕТОДАМИ


К нестандартным мы относим задачи, в решении которых используется какая-либо специфическая идея, т.е. идея, связанная с данной конкретной задачей. Трудно дать рецепты решения подобных задач.


Каждая из них требует определенной фантазии, выдумки, «озарения». Все это, конечно, возможно лишь на базе прочно усвоенных методов решения типичных задач.


Системы уравнений, в которых неизвестных больше, чем уравнений.


Как правило, количество неизвестных в системе уравнений и количество уравнений совпадают. Но иногда бывают задачи, где число уравнений меньше числа неизвестных


В таких случаях обычно структура уравнений скрывает какие-либо дополнительные ограничения на неизвестные.


В задаче по одному уравнению от двух неизвестных иногда удается построить равносильную ей систему двух уравнений и найти все ее решения.


В случае когда количество неизвестных в системе больше числа уравнений, система может иметь бесконечное множество решений. Встречаются задачи, где не требуется найти это бесконечное множество, а лишь определить в нем решения с некоторыми специальными свойствами


Какое-либо дополнительное ограничение в условии задачи, например целочисленность неизвестных, также способствует решению в случае, если переменных больше, чем уравнений


Использование неравенств при решении систем уравнений.


Часто уравнения системы приводят к ограничениям на неизвестные в виде неравенств. Выделение этих дополнительных условий, возникающих в ходе решения задачи, и использование их совместно с заданными уравнениями иногда позволяет легко найти все решения системы


Системы уравнений с дополнительными условиями.


Встречаются системы, включающие помимо уравнений какие-либо и иные ограничения на неизвестные. Например, это могут быть условия положительности неизвестных, какие-либо неравенства между ними, условия целочисленности решений и т.д.


Системы уравнений с параметрами.


Системы уравнений с параметрами мы относим к нестандартным задачам, так как в них приходится решать, как правило, бесконечное множество систем уравнений, соответствующих бесконечному множеству значений параметров данной задачи




Список рекомендуемой литературы:


1. ЕГЭ 2019. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов + 800 дополнительных заданий части 2. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


2. ЕГЭ 2019. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов заданий. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


3. Конкурсные задачи по математике: Справ, пособие. — Изд. 3-е, стер. — Потапов М. К., Олехник С. Н., Нестеренко Ю. В. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 416 с.