Обратные тригонометрические функции. ЕГЭ. Математика. Тригонометрическое уравнение. Тригонометрические функции. Арксинус. Главное значение. Синус. Абсолютная величина. Тангенс половинного угла. Лишние корни. Радикал. Иррациональность. Числовая мера угла. arccos x, arctg х, arcctg x, arcsec x, arccosec x, sin x, cos x, tg x, ctg x
Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии
Обратные тригонометрические функции. ЕГЭ
Соотношение х = sin у позволяет с помощью таблиц найти как х по данной величине у так и у по данной величине х (не превышающей 1 по абсолютной величине)
Таким образом,
можно считать не только синус функцией угла, но и угол функцией синуса. Этот факт находит внешнее выражение в записи у = arcsin х (arcsin читается «арксинус»)
Извлечение корня совершается по одним правилам, а возведение в степень по другим, и мы
привыкаем видеть здесь два различных действия.
Нахождение же синуса по углу и угла по синусу совершается по одним и тем же таблицам, в которых к тому же выделено название «синус», а «арксинус» не упоминается
Поэтому никакого особого действия, результатом
которого был бы арксинус, мы не видим; и вообще в
пределах элементарной математики введение этого
понятия по существу не оправдывается.
В высшей же
математике арксинус часто появляется как необходимый
результат некоторого действия (интегрирования), и
именно здесь возникло понятие арксинуса и его
обозначение.
Определение, arcsin x есть угол, синус которого равен х: Аналогично определяются arccos x, arctg х, arcctg x, arcsec x, arccosec x. Функции arcsin xt arccos х и т. д. обратны функциям sin х, cos х и т. д.
Поэтому они называются
обратными тригонометрическими функциями (иначе
круговыми).
Все обратные тригонометрические функции многозначны, т. е. для каждой из них справедливо следующее: одному значению х соответствует (бесчисленное) множество значений функции (так как бесчисленное множество углов, например а, 180° - а, 360° + а, имеет один и тот же синус)
Главным значением arcsin x называется то его значение, которое заключено между (-90°) и (+90°)
Главным значением arccos x называется то его значение, которое заключается между 0 и (+180°)
Главные значения arcctg x и arcsec x (как и arccos x) содержатся между 0 и π
Основные соотношения для обратных тригонометрических функций:sin Arcsin a = a,cos Arccos a = a, tg Arctg а = а, ctg Arcctg а = a
Тригонометрические уравнения
Уравнение, содержащее неизвестную величину под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим
Некоторые авторы понимают термин
«тригонометрическое уравнение» в более узком смысле, требуя, чтобы
неизвестная величина содержалась только под знаками
тригонометрических функций.
В таком случае уравнение
не будет тригонометрическим. Однако, как бы ни понимался
термин «тригонометрическое уравнение», рассмотрение
уравнений, где неизвестная величина содержится не только
под знаками тригонометрических функций, но и в других
сочетаниях полезно во многих отношениях.
Можно принимать за неизвестную величину
также и числовую меру угла; тогда необходимо указать, в
каких единицах измеряются углы
Таким образом, приняв иную единицу измерения
угла, мы получаем существенно иное уравнение.
Выходит, что для рассматриваемой задачи нельзя
составить такого уравнения, где бы буква х обозначала
величину самого угла, а не его числовой меры.
По внешнему виду этого уравнения можно
подумать, что буквой х обозначается сам искомый угол, а не его числовая мера.
При решении тригонометрических уравнений стараются найти значения какой-либо тригонометрической функции неизвестной величины. Отсюда с
Для записи общего решения служат формулы.
Одно и то же уравнение можно решать различными приемами
При этом могут оказаться полезными
формулы.
Подвергая тригонометрическое уравнение тому или иному преобразованию, нужно помнить о том, что преобразованное уравнение должно быть равносильно исходному
Впрочем, иногда целесообразно совершать и такие преобразования, при которых равносильность нельзя заранее гарантировать. Но тогда в случае возможности появления лишних корней, например, при возведении обеих частей уравнения в квадрат
необходимо проверить все найденные решения. В случае возможности потери корней нужно установить, какие именно корни могут пропасть и действительно ли они пропадают
Впрочем, опасности потерять корни можно легко
избежать.
Приравнивая к нулю один из сомножителей, нужно убедиться, что при этом другой сомножитель не обращается в бесконечность
Если же второй сомножитель обращается в бесконечность, то результат, как правило, будет неверен.
Простейший по идее (но не всегда кратчайший) способ решения тригонометрического уравнения состоит в том, что все тригонометрические функции, входящие в уравнение, выражаются через одну и ту же функцию одной и той же величины
Нецелесообразно выражать cos x через sin x или наоборот, так как во втором члене появится иррациональность. Ее можно уничтожить, уединив этот член и возведя уравнение в квадрат. Но это сложно; к тому же могут появиться лишние решения. Будет лучше выразить sin x и cos x через tg x
Если бы были известны значения cos х, то мы знали бы, какой знак взять перед радикалом (плюс, если правая часть положительна, минус — если отрицательна). Не зная корней уравнения (A), мы вынуждены сохранить оба знака. Поэтому уравнение (B) не равносильно (A). Мы ввели лишние корни. Возводя обе части (B) в квадрат и приводя подобные члены, получаем уравнение.
Когда тригонометрическое уравнение приводится к такому виду, что в него входят только тригонометрические функции одного и того же угла, то все эти функции можно с помощью формул выразить через тангенс половинного угла
Вычисления
при этом способе оказываются часто более
трудоемкими, чем при других, но зато мы избавляемся от
поисков искусственных приемов и во многих случаях
избегаем появления лишних корней.
Список рекомендуемой литературы:
1. ЕГЭ 2019. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов + 800 дополнительных заданий части 2. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН
2. ЕГЭ 2019. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов заданий. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН
3. Справочник по элементарной математике / М. Я. Выгодский. — М: ACT: Астрель, 2006. — 509.
