Тригонометрические уравнения. ЕГЭ. Универсальная подстановка. Тангенс половинного аргумента. ОДЗ. Тригонометрические функции. Группировка членов. Равенство углов. Системы тригонометрических уравнений. Тригонометрическая система. Правильная запись ответа. Вспомогательные неравенства. Тригонометрические преобразования

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: ut2018@protonmail.com    
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии







Тригонометрические уравнения. ЕГЭ


Программа вступительных экзаменов ЕГЭ предусматривает умение решать простейшие тригонометрические уравнения вида sin x = p, cosx = p, tg x = p, ctg x = p.


При отдельных «хороших» значениях р запись решений этих уравнений не представляет труда. Однако уже запись решений таких, например, простейших уравнений, как sin x=1/2, cos x; = —3/5, tg x = 2 и т. п., вызывает у поступающих определенные затруднения, связанные с необходимостью использования символов arcsin p, arccosp, arctgp, arcctgp. Поэтому поступающие должны знать и понимать определения этих символов.


Все необходимые сведения о символах arcsin p, arccos p и др. полностью изложены в учебнике. Приведем здесь лишь некоторые дополнительные пояснения.


С определениями арксинуса, арккосинуса и др, связаны довольно многочисленные ошибки.


Наиболее типичная из них происходит от непонимания важности второго условия в определениях.


Очень распространены неправильные формулировки второго условия определений. Но эта фраза, точный смысл которой состоит в том, что конечная сторона угла лежит в первой или четвертой четвертях, выражает гораздо более слабое ограничение, чем второе условие определения.


Многие поступающие упускают из виду, что символы arcsin р и arccos р имеют смысл лишь для тех чисел р, которые по модулю не превосходят единицы.


Между тем поступающие часто употребляют, например, выражения arcsin(2), arccos(2) и другие, не имеющие смысла.


Для того чтобы решать различные задачи на вычисления, связанные с арксинусом, арккосинусом и др., вполне достаточно хорошо знать определения и известные тригонометрические формулы.


Остановимся на нескольких наиболее типичных примерах такого рода.


Умение установить тот факт, что различные формы записи выражают на самом деле один и тот же угол, имеет особое значение при решении геометрических задач.


При решении такого рода задач допускается много ошибок. Наиболее грубая и типичная из них состоит в следующем. Для установления равенства углов проверяют, что какая-либо тригонометрическая функция каждого из этих углов имеет одно и то же значение и уже на основании только этого делают заключение о равенстве углов.


Разумеется, такой вывод совершенно не обоснован.


Все дело в том, что из равенства косинусов (синусов и т. д.) двух углов не следует равенство самих углов.


Все предлагаемые на экзаменах ЕГЭ задачи на преобразование григонометрических выражений могут быть решены с использованием только тех формул, которые предусмотрены программой экзаменов ЕГЭ.


Хотя выражения, предлагаемые для упрощения, бывают иногда довольно «страшны» на вид, их преобразование обычно не вызывает принципиальных затруднений.


Однако для этого нужно хорошо знать соответствующие формулы, уметь «читать» их не только «слева направо», но и «справа налево», «видеть» эти формулы в самых разнообразных записях.


Такое умение можно выработать, только получив прочные навыки работы с основными тригонометрическими формулами, поупражнявшись в решении достаточного числа примеров.


Естественно, что при тригонометрических преобразованиях необходимо строго соблюдать все правила алгебраических действий.


В ходе преобразований иногда приходится пользоваться различными алгебраическими тождествами, которые надо уметь применять к тригонометрическим выражениям.


главная трудность состоит именно в алгебраической стороне дела, — в необходимости точно указывать, при каких значениях параметров законно то или иное преобразование.


Этот общий метод введения вспомогательного угла всегда приводит к цели. Но на практике при решении конкретных задач бывает выгоднее вводить вспомогательный угол несколько иным способом.


Тригонометрическое выражение имеет смысл, вообще говоря, не при всех значениях своих аргументов.


Поэтому в задачах, где речь идет о преобразовании того или иного тригонометрического выражения, всегдя предполагается (хотя часто и не оговаривается явно в условии задачи), что преобразование предложенного выражения нужно провести в его области определения, т. е. только при тех значениях аргументов, для которых предложенное выражение имеет смысл.


В рассмотренной задаче нам не потребовалось фактически находить допустимые значения аргументов — аажно было только, что проводимые преобразования справедливы при всех этих допустимых значениях, что они не изменяют области определения.


Однако если приходится применять преобразования, изменяющие область определения, то надо действовать очень внимательно.


Это особенно существенно, когда необходимо не только преобразовать заданное выражение, но и выяснить те значения переменной, которые обращают его, скажем, в нуль (т. е., по существу, решить некоторое уравнение). В этом случае нужно следить за теми изменениями, которые претерпевает область определения, не допускать ее сужения и делать проверку, если область определения расширилась.


Чем же объяснить тот факт, что окончательное выражение обращается в нуль при некоторых значениях х, а исходное выражение при этих значениях х не имеет смысла? Дело в том, что в процессе преобразований исходного выражения мы расширили его область определения.


Мы уже подробно обсуждали вопрос о том, что тригонометрические формулы справедливы лишь при допустимых значениях аргументов.


Это же в полной мере относится и к тригонометрическим тождествам. В задачах, где требуется обосновать некоторое тригонометрическое соотношение, нужно иметь в виду, что каждое соотношение мы должны рассматривать вместе с описанием совокупности значений аргументов, для которых оно справедливо.


Если множество, на котором подлежащее доказательству тождество справедливо, не указывается в условии задачи, то это означает, что тождество необходимо рассматривать в его области определения.


В таком случае следует найти эту область определения и обеспечить справедливость проводимого доказательства для всех допустимых значений аргументов.


Для доказательства тригонометрических соотношений обычно берут одну из его частей и с помощью различных тригонометрических и алгебраических операций (и данных задачи) преобразуют ее так, чтобы получить выражение, стоящее в другой части доказываемого соотношения.


Убедиться в совпадении левой и правой частей доказываемого равенства можно также преобразуя их по отдельности.


днако в более сложных случаях, особенно если требуется из одного (данного) равенства получить другое (искомое), довольно трудно бывает сразу увидеть те преобразования, которые ведут к цели.


Обычно в таких задачах сначала предполагают доказываемое соотношение справедливым и приводят его различными преобразованиями к очевидному (или данному) равенству, «нащупывая» тем самым путь решения.


Тригонометрические уравнения и системы


Тригонометрические уравнения, содержащие более или менее сложные тригонометрические выражения, являются традиционной составной частью многих вариантов письменных вступительных экзаменов ЕГЭ.


Как известно, не существует единого метода, следуя которому удалось бы решить любое такое уравнение.


Но общая цель состоит в преобразовании входящих в уравнение тригонометрических выражений таким образом, чтобы рассматриваемое уравнение привелось к простейшему, либо «распалось» на несколько простейших.


В каждом конкретном примере необходимо найти свой способ преобразования рассматриваемого уравнения. Иногда приходится перебирать разные преобразования, испробовать различные идеи, прежде чем удастся найти тот путь, который приводит к цели.


Успех здесь может обеспечить лишь хорошее знание тригонометрических формул и умение грамотно проводить тригонометрические преобразования, что вырабатывается только достаточной практикой.


Конечно, многие тригонометрические уравнения допускают несколько способов решения, в зависимости от того, на какой идее строится решение, как преобразуются входящие в уравнение тригонометрические выражения. Подчеркнем, что при этом форма записи корней часто зависит от избранного пути решения, и если мы захотим доказать эквивалентность двух разных форм записи ответа, то придется прибегнуть к дополнительным преобразованиям. Это важно напомнить потому, что иногда поступающие, решив тригонометрическое уравнение, начинают решать его «для контроля» другим способом и приходят к иной форме ответа. Приняв иную форму ответа за свидетельство неправильности первого решения, они пытаются найти несуществующие ошибки и тратят на это много времени.


Впрочем,


на экзамене ЕГЭ решить заданное уравнение надо каким-либо одним (желательно — наиболее простым и коротким!) способом, и никакие преобразования ответа в иные формы проводить не требуется.


В процессе преобразований уравнения надо следить зя эквивалентностью, чтобы не допустить потери корней (например, при сокращении левой в правой частей уравнения на общий множитель) или приобретения лишних корней (например, при возведекип обеих частей уравнения в квадрат).


Кроме того, необходимо отдельно контролировать, принадлежат ли получающиеся корни ОДЗ рассматриваемого уравнения.


Во всех необходимых случаях (т. е. когда допускались неэквивалентные преобразования) нужно делать проверку.


Все подобные вопросы, связанные с решением уравнений (в том числе и тригонометрических), а также некоторые примеры подробно разобраны, Здесь мы на них специально останавливаться не будем, Рассматриваемые ниже примеры иллюстрируют несколько довольно общих рекомендаций, которые полезно учитывать при решении тригонометрических уравнений. Однако не надо думать, что эти рекомендации носят всеобщий характер и во всех примерах приводят к цели.


В самом деле, универсальная подстановка, т. е. замена синуса и косинуса через тангенс половинного аргумента, вообще говоря, сужает ОДЗ и потому может привести к потере корней.


Операция возведения в квадрат обеих частей уравнения может привести к приобретению корней.


Следовательно, оба эти метода требуют дополнительных исследований, тогда как метод введения вспомогательного угла сразу приводит к равносильному простейшему уравнению.


При решении тригонометрических уравнений, содержащих тригонометрические функции кратных аргументов, поступающие стремятся перейти обязательно к функциям самого аргумента; при этом получается алгебраическое уравнение высокой степени относительно sin х (или cos x).


Во многих случаях при решении тригонометрических уравнений с успехом используется специальный прием — обозначение некоторой комбинации тригонометрических функций через новое неизвестное. Разумеется, надо иметь некоторый опыт, чтобы увидеть подходящую комбинацию.


Часто при решении тригонометрических уравнений к цели приводит удачная группировка членов. Однако найти ее бывает иногда непросто — для этого ппиходится перебирать различные возможности.


На вступительных экзаменах часто предлагаются задачи, в которых требуется найти не все множество корней тригонометрического уравнения, а лишь те корни, которые удовлетворяют дополнительным условиям (например, лежат в определенных пределах). Такие задачи можно решать следующим образом: выписать все корни рассматриваемого уравнения, а затем из них отобрать те. для которых выполняются дополнительные условия,


Особенно часто приходится прибегать к отбору решений тригонометрического уравнения, когда оно получается из некоторого исходного уравнения «комбинированного» типа (например, из уравнения, в которое входят логарифмические и тригонометрические функции).


В таких случаях роль «дополнительных условий» обычно играют неравенства, определяющие ОДЗ исходного уравнения.


Опыт экзаменов ЕГЭ однако, показывает, что при этом допускается большое количество ошибок, связанных с неправильным пониманием упомянутых соотношений. Такие соотношения не входят в программу вступительных экзаменов и их не следует заучивать, тем более, что их применение существенного сокращения выкладок не дает,


Встречаются задачи, в которых также приходится проводить отбор корней тригонометрических уравнений, но по иной причине — нужно найти лишь те корни, которые являются общими, например, для двух тригонометрических уравнений.


Особую группу составляют тригонометрические уравнения, в которые, помимо неизвестных, входят параметры.


При решении таких задач прежде всего возникает вопрос о выяснении тех значений параметров, при которых решения существуют. Разумеется, необходимо также найти сами решения (в зависимости от параметров).


Хотя решение задач с параметрами не предполагает никаких дополнительных знаний, требующееся при этом исследование представляет подчас определенные логические и технические трудности.


Иногда на экзаменах ЕГЭ предлагаются системы тригонометрических уравнений. Решить такую систему — значит найти все наборы значений неизвестных, которые обращают в верные числовые все уравнения системы.


Обычно при решении систем либо сразу исключают одно из неизвестных, выражая его через другие из какого-либо уравнения системы, либо пытаются свести тригонометрическую систему к системе алгебраических уравнений удачным введением новых неизвестных или преобразованием уравнений системы.


Решение тригонометрических систем не требует никаких специальных приемов или знаний, выходящих за пределы программы. Тем не менее эти задачи связаны с некоторыми специфическими трудностями. Одна из них связана с тем, что эти системы имеют, как правило, бесконечно много решений.


Поэтому правильная запись ответа, отбор нужных решений и т. д. бывают затруднены необходимостью рассматривать разные случаи или решать вспомогательные неравенства.



Список рекомендуемой литературы:


1. ЕГЭ 2019. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов + 800 дополнительных заданий части 2. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


2. ЕГЭ 2019. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов заданий. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


3. Г.В.Дорофеев, М.К.Потапов, Н.Х.Розов ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗЫ (избранные вопросы элементарной математики). - М:Наука, 1975