Тригонометрические неравенства. ЕГЭ. Математика. Системы неравенств первой степени. Алгебраические неравенства. Равносильные неравенства. Равносильность систем неравенств. Абсолютная величина. Среднее арифметическое. Среднее гармоническое. Среднее геометрическое. Модуль суммы. Основные свойства неравенств

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: ut2018@protonmail.com    
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии







Основные свойства неравенств. ЕГЭ


Общие сведения о неравенствах


Два выражения, числовые или буквенные, соединенные знаком «больше» или знаком «меньше», образуют неравенство (числовое или буквенное).


Всякое верное числовое неравенство, а также всякое буквенное неравенство, справедливое при всех числовых действительных значениях входящих в него букв, называется тождественным


Буквенные величины, входящие в неравенство, могут подразделяться на известные и неизвестные


Какие из букв представляют известные, а какие неизвестные величины, должно быть отдельно указано. Обычно для этого неизвестные величины обозначаются последними буквами латинского алфавита х, у, z и т. д.


Решить неравенство — значит указать границы, в которых должны заключаться (действительные) значения неизвестных величин, чтобы неравенство было верным


Если дано несколько неравенств, то решить систему этих неравенств — значит указать границы, в которых должны заключаться значения неизвестных величин, чтобы все данные неравенства были верными


Замечание.


Два неравенства одинакового смысла нельзя почленно вычитать друг из друга, так как результат может быть верным, но может быть и неверным


из одного неравенства можно почленно вычесть другое неравенство противоположного смысла оставляя знак того неравенства, из которого вычиталось другое


два неравенства одинакового смысла можно почленно складывать


К обеим частям неравенства можно прибавить (или из них вычесть) одну и ту же величину


Выражение «неравенства одинакового смысла» означает, что оба неравенства содержат знак больше или оба содержат знак меньше


Выражение «неравенства противоположного смысла» означает, что одно из неравенств содержит знак больше, а другое знак меньше


обе части неравенства можно разделить или умножить на одно и то же положительное число (знак неравенства остается тем же)


обе части неравенства можно умножитъ или разделить на одно и то же отрицательное число, но при этом знак неравенства нужно поменять на противоположный


модуль суммы не превосходит суммы модулей. Равенство имеет место только в тех случаях, когда оба числа имеют один и тот же аргумент, в частности, когда оба эти числа положительны или оба отрицательны


среднее геометрическое двух чисел не превосходит их среднего арифметического


среднее гармоническое двух величин не превосходит их среднего геометрического


абсолютная величина среднего арифметического не превосходит среднее квадратическое


Если два ряда положительных величин содержат одинаковое число членов и в обоих рядах члены не убывают (или в обоих не возрастают), то произведение средних арифметических не превосходит среднего арифметического произведений. Если же в одном ряду члены не убывают, а в другом не возрастают, то имеет место противоположное неравенство


Равносильные неравенства. Основные приемы решения неравенств


Два неравенства, содержащие одни и те же неизвестные, называются равносильными, если они верны при одних и тех же значениях этих неизвестных. Так же определяется равносильность двух систем неравенств


Процесс решения неравенства заключается в основном в замене данного неравенства (или данной системы неравенств) другими равносильными


При решении неравенств применяются следующие основные приемы.


1. Замена одного выражения другим, тождественно ему равным


2. Перенос слагаемого из одной части неравенства в другую с заменой знака на противоположный


3. Умножение или деление обеих частей неравенства на одну и ту же числовую величину (не равную нулю). При этом если множитель положителен, то знак неравенства остается тем же, если же отрицателен, то знак неравенства меняется на противоположный


Каждое из этих преобразований дает неравенство, равносильное исходному.


Умножать (а также, конечно, и делить) неравенство на нуль нельзя. Умножая или деля обе части неравенства на буквенные выражения, мы получаем неравенство, которое, как правило, не равносильно исходному


Классификация неравенств


Неравенства, содержащие неизвестные величины, подразделяются на алгебраические и трансцендентные


алгебраические неравенства подразделяются на неравенства первой, второй и т. д. степени


Эта классификация производится так же, как и для уравнений


Системы неравенств первой степени


Чтобы решить систему неравенств первой степени, находим решение каждого неравенства в отдельности и сопоставляем эти решения. Это сопоставление либо дает решение системы, либо обнаруживает, что система не имеет решений


Список рекомендуемой литературы:


1. ЕГЭ 2019. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов + 800 дополнительных заданий части 2. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


2. ЕГЭ 2019. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов заданий. Под ред. И.В.Ященко. Изд-во: ЭКЗАМЕН


3. Справочник по элементарной математике / М. Я. Выгодский. — М: ACT: Астрель, 2006. — 509.